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1、第5章,收益与风险,资产组合的一般步骤,1.通过马科维茨有效边界分析，从风险资产中获得最优风险回报组合2.考虑无风险资产对最优组合的影响3.根据自身风险与偏好，选择由无风险资产与最优风险资产构成的组合,9,本章主要内容利率水平的确定期望收益与波动性风险价值,10,5.1 利率水平的确定,利率水平的决定因素：资金供给(存款人特别是居民)资金需求(企业购置厂房设备及存货)资金供求的外生影响(政府),假定一年前你在银行存了1000美元，期限一年，利率10%，那么现在你将得到1100美元现金。这100美元收益是你的真实收益吗？这取决于现在的1100美元可以买多少东西以及一年前的1000美元可以买多少东
2、西；消费者物价指数（CPI）是用来测度城镇家庭购买一篮子商品与服务的平均价格指标；有必要区别名义利率货币增长率和实际利率购买力增长率,12,5.1.1 实际利率(real interest rate)与名义利率(nominal interest rate),设名义利率为R，实际利率为r，通胀率为i，则有下式近似成立：r R-i(5-1)或R r+i 即：费雪效应(近似):名义利率 实际利率+通货膨胀率 例：上例中，假设i=CPI=6%,则 实际利率r R-i=10%-6%=4%费雪效应(严格):1+r=(1+R)/(1+i)(5-2),推导得：r=(R-i)/(1+i)(5-3)由r R-i，
3、高估了（1+i）倍。r=4%/(1+6%)=3.77%,例题：如果一年期储蓄存单的利率为 8%，预期下一年的通胀率为 5%，分别利用近似公式和精确公式计算实际利率。,解：利用近似公式可以得到实际利率为 r8%-5%3%，利用精确公式可以计算出实际利率为 r=(0.08-0.05)/(1+0.05)=0.028 即2.86%。由此可以看到，近似公式得出的实际利率高估了 14个基点（0.14%），通胀率较小或计算连续复利情形时，近似公式较为准确。,课堂练习题,1.如果一年期储蓄的名义利率是10%，预期通胀率是5%，请精确估计预期的一年期实际利率。另外，实际利率的近似估计值是多少？2.在高通胀期间，
4、某债券名义持有期收益率（HPR）为每年80%，通胀率为年70%。试问该债券实际持有期精确收益率多少？该准确值和近似值比较，能得出什么结论？,1.解：1+r=（1+R）/（1+i）r=（1+10%）/（1+5%）-1=4.76%近似计算的实际利率rR-i=10%-5%=5%2.解：r=（1+R）/（1+i）-1=（R-i）/（1+i）=（）/1.7=5.88%近似值：rR-i=0.8-0.7=10%很显然，在高通胀时期，实际利率的近似值比精确值大许多，二者计算偏差较大。,17,5.1.2 实际利率均衡,四因素：供给、需求、政府行为和通胀率,资金,均衡资金借出,均衡的真实利率,利率,E,E,需求,
5、供给,利率,均衡的真实利率,利率,均衡资金借出,均衡的真实利率,利率,资金,均衡资金借出,均衡的真实利率,利率,实际利率均衡,基金借贷均衡,Funds 资金,Demand 需求,供给Supply,利率Interest Rates,19,5.1.3 名义利率均衡,费雪方程(Fisher equation):欧文费雪（Irving Fisher,1930）认为名义利率应当伴随着预期通胀率的增加而增加。如果我们假设目前的通胀预期率将持续到下一时期，记为E(i)，那么所谓的费雪等式如下：含义：名义利率应该随预期通胀率的增加而增加,20,5.1.4 税收与实际利率,税赋是基于名义收入的支出，税率则由投资
6、者的税收累进等级决定。,假设你的税率是30%，你投资的回报率为12%，通胀率为8%，试求你税后的实际收益率。解：税后实际收益率=r（1-t）-it=（12%-8%）（1-30%）-8%30%=0.4%,22,5.2 持有期收益率,考虑一个投资者追求安全的投资，例如美国国债。假定无息国库券有很多不同的期限，第14章将进一步讨论的无息债券是在购买时折价购入，获得的收益为实际到期支付的票面价值与折扣价格之间的差额。给定价格P(T)，国债票面价值100美元，期限为T年，在债券期限内计算全部的无风险收益增加百分比：,24,例 5.2 年化收益率,定义平均年投资收益的实际年利率（EAR）为：一年投资资金增
7、长的百分比,对例5.2中一年投资来说：1+EAR=1+rf(1)=1+5.80%,EAR=5.80%;对6个月的债券，可以将2.71%的半年期利率分配到两个周期中，从而得到一年的价值：1+EAR=(1.0271)2=1.0549,EAR=5.49%;对超过一年的投资，如上例年期债券(1+EAR)25=4.2918,总之，可以将实际年利率与总体收益rf(T)、延续的期限T用式（5-7）表示：(5-7)例5.3 相对于总体的年平均收益：对于例5-2中的6个月期债券，T=1/2,1/T=2 1+EAR=(1.0271)2=1.0549，EAR=5.49%对于例5-2中的25年债券，T=25 1+EA
8、R=(1+3.2918)1/25=1.0600，EAR=6.00%,27,5.2.1 年化百分比利率,28,表 5.1 有效年利率与年化百分比利率,29,5.2.2 连续复利收益率,从表5-1和式5-8可以发现APR和EAR在不同复利计算期增长状况的差别。当T趋于无限小时，可得连续复利(continuous compounding)概念,30,5.3 短期国库券与通货膨胀(1926-2005),实际收益率不断提高标准差相对稳定短期利率受到通胀率的影响日趋明显,31,Table 5.2 History of T-bill Rates,Inflation and Real Rates for Ge
9、nerations,1926-2005,32,19262009年的短期国库券和通货膨胀率,温和的通货膨胀都会使这些低风险投资的实际回报偏离其名义值。从1926年至2009年，一美元投资于短期国库券的增长到了名义值20.52美元，但是实际值只有1.69美元。实际利率和通货膨胀率的负相关性说明名义利率伴随着预期通货膨胀率的一对一变化趋势更加不显著。,33,图 5.3 19262006年利率和通货膨胀率,34,Figure 5.3 Nominal and Real Wealth Indexes for Investment in Treasury Bills,1968-2009,35,5.4 风险和
10、风险溢价,5.4.1 持有期收益例如，假定你有一笔钱用于投资，你把它们都投资于股票指数基金。指数基金每股价格为100 美元，持有期为一年，你对年现金红利的要求为4美元，所以你的期望红利收益率（每美元红利收入）为4%。你的总持有期收益率（HPR）取决于你对从现在起一年的基金价格的预期。假定你预期每股价格为110美元，那么持有期收益为 14%，持有期收益（率）具体是指基金资本收益（率）加上红利收益（率），时间基点为期初。,股票收益包括两部分：红利收益(dividends)与资本利得(capital gains)持有期收益率(holding-period return),由于一年之后股票价格的不确定
11、性，你很难确定你的最终总持有期收益率，我们将试图量化整个国家的经济状况和股票市场状况，如下表所示，我们将可能性分为三种情况。,（2）预期回报（Expected return）。由于未来证券价格和股息收入的不确定性，很难确定最终总持有期收益率，故将试图量化证券所有的可能情况，从而得到其概率分布，并求得其期望回报。,（3）证券的风险（Risk）金融学上的风险表示收益的不确定性。（注意：风险与损失的意义不同）。由统计学上知道，所谓不确定就是偏离正常值（均值）的程度，那么，方差（标准差）是最好的工具。,39,5.4.2 期望收益与标准差：E-V方法,均值与方差(expected value and v
12、ariance),资产组合中的数学（规则1）,规则1：在任何情况下，资产的平均或预期收益（率）就是其收益（率）的概率加权平均值。Pr(s)表示s情况下的概率，r(s)为该情形下的收益（率），那么预期收益（率）E(r)为：,p(s)=状态S的概率 r(s)=状态S的持有期收益率HPR 状态:从1到S,资产组合中的数学（规则2）,规则2 资产收益的方差是预期收益的偏差的平方的期望值。它可以表示为：,标准差=方差1/2,42,StateProb.of Stater in State 1.1-.052.2.053.4.154.2.255.1.35,E(r)=(.1)(-.05)+(.2)(.05)+(
13、.1)(.35)E(r)=.15,各情形下的收益:例子,43,Var=(.1)(-.05-.15)2+(.2)(.05-.15)2+.1(.35-.15)2Var=.01199S.D.=.01199 1/2=.1095,收益的方差,44,例：假定投资于某股票，初始价格1 0 0美元，持有期1年，现金红利为4美元，预期股票价格由如下三种可能，求其期望收益和方差。,45,表5-4 股票指数基金持有期收益率的情境分析,46,注意：在统计学中，我们常用历史数据的方差作为未来的方差的估计。对于t时刻到n时刻的样本，样本数为n的方差为,例子,You invest$27,000 in a corporate
14、 bond selling for$900 per$1,000 par value.Over the coming year,the bond will pay interest of$75 per$1,000 of par value.The price of the bond at years end will depend on the level of interest rates that will prevail at that time.You construct the following scenario analysis:Your alternative investmen
15、t is a T-bill that yields a sure rate of return of 5%.Calculate the HPR for each scenario,the expected rate of return,and the risk premium on your investment.What is the expected end-of-year dollar value of your investment?,48,显然，对于潜在的投资者而言，更加担心的是收益为16%这一情形出现的概率有多大，而不是收益为34%的这一情形。收益率的标准差并未将两者加以区分，它仅
16、仅简单地表现为是对二者中值的偏离。只要概率分布或多或少与中值是对称的，就可以精确测度风险，特别地，当我们假定概率分布为正态分布（即通常的铃形曲线）时，E(r)与就充分准确地体现了概率分布的特点。,课堂练习题,1.根据书中电子数据表5-1，假定投资者针对以下的股票市场对他的预期作出调整。经济状况 概率 期末价格/美元 H P R(%)繁荣 0.3 5 140 4 4 一般 0.3 0 110 1 4 衰退 0.3 5 80-1 6 运用5-1式与5-2式，计算股票持有期收益率H P R的期望收益与方差。将投资者调整后的参数与教材中的参数作比较。2.根据下表，在下列收益情况下，资产组合的预期收益是
17、多少？市场情况 熊市 正常 牛市 概率 0.2 0.3 0.5 收益率(%)-2 5 1 0 2 4,根据下面对X股票和Y股票收益的预期，回答第 3至第 4题。名称 熊市 正常 牛市 概率 0.2 0.5 0.3 X股票收益(%)-2 0 1 8 5 0 Y股票收益(%)-1 5 2 0 1 03.股票X和股票Y的期望收益是多少？4.股票X和股票Y收益的标准差是多少？,1 E(r)=0.3 54 4%+0.3 01 4%+0.3 5(-1 6%)=1 4%。方差=0.3 5(4 4-1 4)2+0.3 0(1 4-1 4)2+0.35(-1 6-1 4)2=630标准差=2 5.1 0%均值不
18、变，但标准差随着高收益和低收益的概率增加而增加。2.10%3.20%，10%4.24.33%，13.23%,53,5.4.3 超额收益与风险溢价,风险资产投资收益=无风险收益+风险溢价其中，风险溢价(risk premium)又称为超额收益(excess return)无风险（Risk-free）证券：其收益确定，故方差为0。一般以货币市场基金或者短期国债作为其替代品。例：上例中我们得到股票的预期回报率为14，若无风险收益率为8。初始投资100元于股票，其风险溢价为6元，作为其承担风险（标准差为21.2元）的补偿。投资者对风险资产投资的满意度取决于其风险厌恶(risk aversion)程度,
19、回报分为两种：一种是投资于指数基金的期望总收益，一种是投资于譬如国库券、货币市场工具或银行存款上的无风险收益率。两者之差我们称之为基于普通股的风险溢价。如果例中的无风险收益率每年为6%，指数基金期望收益率每年为14%，那么股票的风险溢价每年就为8%。任何特定时期风险资产同无风险资产收益之差称为超额收益（excess return）。所以，风险溢价也是期望的超额收益。,55,5.5 历史收益率时间序列分析,5.5.1 时间序列与情景分析 预测未来情形可以设定一组相关情形和相应投资结果（预期收益率），对每种情形设置一个概率值，计算他们的期望收益和标准差，从而预知风险溢价和风险。资产和投资组合的历史
20、数据只是以时间序列的收益率形式存在，没有提供“情形”和各种“情形”出现的概率，也没有初始投资额，只有指数相关或股价相关的数据，并可计算持有期收益率，如何从中寻找相应的概率分布，从而得到期望收益和方差？,期望收益与算术平均,当使用历史数据时，将每种观察到的结果都视为一种“情形”。如果有n个观察事件，式（5-11）中的p(s)取可能的概率1/n，可以从样本收益率的算术平均数中得到期望收益E(r)：,Time series of HPR for the S&P 500,57,例5-6举例说明了算术平均值在投资学中广泛的应用逻辑关系。如果每个历史收益的时间序列都真实代表了可能的概率分布，那么从历史数据
21、中计算得到的算术平均值就是恰当的投资持有期收益的估计预测值。,59,5.5.3 几何收益率Geometric Average Return,TV=投资终值(Terminal Value of the Investment),g=几何平均收益率(geometric average rate of return),如果收益服从正态分布，则几何平均值=算术平均值-1/22,60,Example 5.7Geometric versus Arithmetic Average,The geometric average inExample 5.6(.54%)is substantially less th
22、an the arithmetic average(2.10%).This discrepancy sometimes is a source of confusion.It arises from the asymmetric effect of positive and negative rates of returns on the terminal value of the portfolio.Observe the returns in years 2002(.2210)and 2003(.2869).The arithmetic average return over the 2
23、years is(.2210+.2869)/2=.03295(3.295%).However,if you had invested$100 at the beginning of 2002,you would have only$77.90 at the end of the year.In order to simply break even,you would then have needed to earn$21.10 in 2003,which would amount to a whopping return of 27.09%(21.10/77.90).Why is such a
24、 high rate necessary to break even,rather than the 22.10%you lost in 2002?The value of your investment in 2003 was smaller than$100;the lower base means that it takes a greater subsequent percentage gain to just break even.Even a rate as high as the 28.69%realized in 2003 yields a portfolio value in
25、 2003 of$77.90 1.2869=$100.25,barely greater than$100.This implies a 2-year annually compounded rate(the geometric average)of only.12%,significantly less than the arithmetic average of 3.295%.,61,5.5.4 方差与标准差,方差=期望值偏离的平方(expected value of squared deviations)历史数据的方差估计：对于n个事件的历史数据，用期望收益的近似值即算术平均值 代替不可
26、观察的E(r)，对每个事件采用等可能的概率：无偏化处理：通过方差的算术平均值与因子n/(n-1)的乘积来缩小误差：,62,5.5.5 报酬-风险比率(夏普比率)The Reward-to-Volatility(Sharpe)Ratio,Using the annual returns for years 20032005 in表5.2,a.Compute the arithmetic average return.b.Compute the geometric average return.c.Compute the standard deviation of returns.d.Comput
27、e the Sharpe ratio assuming the risk-free rate was 6%per year.,63,5.6 正态分布,考虑一家报纸在好的日子一天赚100美元，坏日子不赚，概率各0.5。这是两天后的事件树，会有三种不同结果。一般天能产生种可能的结果。,两天好日子后，获利=200美元，概率.25,一天好一天坏后，获利=100美元,概率0.5,两天坏日子后，获利=0美元,概率0.25,大量营业日末期的获利分布会是什么样子?比如200天就会有201种可能的结果。最中间的结果（100天好100天坏）也是最可能的结果，因为有更多的序列会导致这种结果的产生；极端结果（200天
28、全好或全坏）是极少可能发生的。概率分布最终会出现钟形的正态分布。下图是一个均值为10%，方差为20%的正态分布图。该图给出了在给定的变化范围内收益率的理论概率。小的标准差表明可能的结果紧紧围绕均值，大的标准差表明一个相对发散的分布。当样本是正态分布时，一个指定结果的可能性完全有标准差（结果偏离均值的幅度）的值来决定。因此，正态分布完全可以有两个参数刻画，那就是均值和方差。,65,为了评估正态分布的正确性，将焦点集中在正态的偏离上。第一个规则是对称，不对称称为偏度，用均值偏离期望的立方除以标准差立方的比率，也称为三阶矩阵，可以度量偏度：(5-19)立方的偏离才保持其符号。因此如果分布是向右偏的，
29、表明正的极值立方后占主导地位，导致了正的偏度；因此如果分布是向左偏的，表明负的极值立方后占主导地位，导致了负的偏度；（见下页图5-5a）,5.7 偏离正态,67,图 5.5A 正态与偏度分布(mean=6%SD=17%),分布偏度为正的时候，标准差高估风险，因为期望中正的极值偏离（投资者往往不关心这个）会增加波动；分布偏度为负的时候，标准差将低估风险。另一个潜在重要的偏离就是均值两边极值出现的可能性。当一个图形的尾巴很厚，意味着分布尾部的发生概率要比正态分布大；尾部比较薄，意味着远离分布中心部分的发生概率很小。（见下页图5-5b）峰度用来度量尾厚的程度，（5-20）,式5-20中的比率被减去3
30、，因为服从正态分布的这个比率等于3，正态分布的峰度被定义为0，任何峰度大于0表明其分布相对与正态分布存在厚尾特征。,70,图5.5B 正态与厚尾分布(mean=.1,SD=.2),71,在险价值(VaR),度量一定概率下发生极端负收益所造成的损失。在险价值是一个概率分布小于q%的分位数。从业者通常估计 5%的在险价值,它表示当收益率从高到低排列时，有95%的收益率都将大于该值。,72,When portfolio returns are normally distributed,the VaR may be directly derived from the mean and SD of th
31、e distribution.Recalling that 1.65 is the 5th percentile of the standard normal distribution(with mean=0 and SD=1),the VaR for the normal distribution is,To obtain a sample estimate of VaR,we sort the observations from high to low.The VaR is the return at the 5th percentile of the sample distributio
32、n.Almost always,5%of the number of observations will not be an integer,and so we must interpolate.Suppose the sample is comprised of 84 annual returns(19262009),so that 5%of the number of observations is 4.2.We must interpolate between the fourth and fifth observation from the bottom.Suppose the bot
33、tom five returns are,The VaR is therefore between-25.03%and-25.69%and would be calculated as,73,预期尾部损失(ES),也叫做条件尾部期望(CTE)对下行风险的衡量比在险价值更加保守在险价值是最差情形下的最好收益率预期尾部损失是最差情形下的平均收益率,74,下偏标准差(LPSD)与索提诺比率,问题:需要独立的考察收益率为负的结果需要考察收益对无风险利率的偏离下偏标准差:类似于普通标准差，但只使用相对于无风险收益率rf负偏的那些收益率。索提诺比率是夏普比率的变形。,75,5.8 股权收益与长期债券收益的
34、历史记录,5.8.1 平均收益与标准差基本结论：高风险、高收益,76,Figure 5.6Frequency distribution of annual rates of return,19262009,77,78,收益呈现正态分布在最近的半个周期收益很低(1968-2009)小公司股票的标准差变得很小;长期债券的标准差变得很大。好的多元化投资组合的夏普比率比较高。负偏度,79,表5.3 各个时期的资产历史收益率1926-2005,启示：（19252005)1.通货膨胀曲线说明为获得1925年年底价值1美元的购买力，2002年末应具有10.11美元；2.1925年末1美元连续投资于短期国库券
35、，2002年末增值为17.38美元，实际购买了为1925年的17.38/10.11=1.72倍；3.投资于大公司普通股上的1美元增值到了1548.32美元，购买力为1548.32/10.11=153倍;4.投资于小公司普通股上的1美元增值为4803美元,购买力为475倍.,81,图5.6 1926-2005年历史收益率,启示：（19252005)1.通货膨胀曲线说明为获得1925年年底价值1美元的购买力，2002年末应具有10.11美元；2.1925年末1美元连续投资于短期国库券，2002年末增值为17.38美元，实际购买了为1925年的17.38/10.11=1.72倍；3.投资于大公司普通
36、股上的1美元增值到了1548.32美元，购买力为1548.32/10.11=153倍;4.投资于小公司普通股上的1美元增值为4803美元,购买力为475倍.,83,5.8.2 风险资产组合的其他统计量5.8.3 夏普比率5.8.4 时间序列相关性5.8.5 偏度与峰度5.8.6 历史风险溢价的估计5.8.7 全球历史数据,夏普比率准则,对于风险和收益各不相同的证券，均方准则可能无法判定，除可以采用计算其确定性等价收益U来比较外，还可以采用夏普比率（Shape rate）。,它表示单位风险下获得收益，其值越大则越具有投资价值。,例：假设未来两年某种证券的收益率为18%，5%和20%，他们是等可能
37、的，则其预期收益率和风险？夏普比率？,86,表5.4 资产的历史超额收益率1926-2005,87,图5.7 世界名义和实际股权收益率1900-2000,88,图 5.8 世界股权和债券实际收益率的年标准差 1900-2000,89,5.9 长期投资,90,91,5.9.1 长期投资的风险与对数正态分布,连续复利的收益率若呈正态分布，则实际的持有期收益率为对数正态分布终值为：,92,夏普比率的时间维度年度夏普比率=T时间内夏普比率*SQRT（1/T）长期未来收益率模拟 长期预测预测80年历史中25年期的累计收益的无偏年度收益估计为：几何平均*25/80+算术平均*（80-25）/80,93,图
38、5.10 Annually Compounded,25-Year HPRs from Bootstrapped History and A Normal Distribution(50,000样本),94,图5.11 Annually Compounded,25-Year HPRs from Bootstrapped History(50,000 Observation),95,图5.12 Wealth Indexes of Selected Outcomes of Large Stock Portfolios and the Average T-bill Portfolio,96,5.10
39、非正态分布的风险度量,风险价值(value at risk,VaR)分布的分位数(q)，表示有q%的值小于它尾部条件期望(conditional tail expectation,CTE)低偏标准差(Lower partial standard deviation,LPSD),在险值（VaR）是指在一定概率水平（置信水平）下，某一金融资产或证券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失。,98,表5.5 Risk Measures for Non-Normal Distributions,资产组合的收益与风险,一个岛国是旅游胜地，其有两家上市公司，一家为防晒品公司，一家为雨具公司。岛国每年天气或为
40、雨季或为旱季，概率各为0.5，两家公司在不同天气下的收益分别如下，请问你的投资策略。,防晒品公司,雨具公司,雨季,旱季,0%,20%,20%,0%,资产组合（Portfolio）的优点,对冲（hedging），也称为套期保值。投资于补偿形式（收益负相关），使之相互抵消风险的作用。分散化（Diversification）：必要条件收益是不完全正相关，就能降低风险。组合使投资者选择余地扩大。,例如有A、B两种股票，每种股票的涨或跌的概率都为50%，若只买其中一种，则就只有两种可能，但是若买两种就形成一个组合，这个组合中收益的情况就至少有六种。,B,A,组合至少还包含非组合（即只选择一种股票），这表
41、明投资者通过组合选择余地在扩大，从而使决策更加科学。,组合的收益 假设组合的收益为rp，组合中包含n种证券，每种证券的收益为，它在组合中的权重是，则组合的投资收益为,组合的方差,将平方项展开得到,根据概率论，对于任意的两个随机变量，总有下列等式成立,组合的风险变小,没有2,总结,对于包含n个资产的组合p，其总收益的期望值和方差分别为,例1：假设两个资产收益率的均值为0.12，0.15，其标准差为0.20和0.18，占组合的投资比例分别是0.25和0.75，两个资产协方差为0.01，则组合收益的期望值的方差为,例2：假设某组合包含n种股票。投资者等额地将资金分配在上面，即每种股票占总投资的1/n，每种股票的收益也是占总收益的1/n。设若投资一种股票，其期望收益为r，方差为2，且这些股票之间两两不相关，求组合的收益与方差。,组合的收益是各种证券收益的加权平均值，因此，它使组合的收益可能低于组合中收益最大的证券，而高于收益最小的证券。只要组合中的资产两两不完全正相关，则组合的风险就可以得到降低。只有当组合中的各个资产是相互独立的且其收益和风险相同，则随着组合的风险降低的同时，组合的收益等于各个资产的收益。,112,本章小结,实际利率与名义利率证券均衡期望收益率风险与收益的权衡风险投资在长期看并不安全非标准正态分布的风险度量,
