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1、,二面角,复习回顾,1.在平面几何中角是怎样定义的？,从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。,或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。,2.在立体几何中,异面直线所成的角是怎样定义的？,直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a/a,b/b,我们把相交直线a 和 b所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。,3.在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。,异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？,它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。,一个平面内的一条直线把
2、这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。,一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。,1.二面角的定义,这条直线叫做二面角的棱。,平面角由射线-点-射线构成。,二面角由半平面-线-半平面构成。,l,A,B,P,Q,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。,二面角的表示,这两个半平面叫做二面角的面。,2.二面角的画法,二面角AB,二面角 l,二面角CAB D,5,角,从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。,定义,构成,边点边（顶点）,表示法,AOB,二面角,A,B,面,面,棱,a,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。,面直线面（棱）,
3、二面角l,或二面角AB,图形,二面角的大小用它的平面角来度量,3.二面角的度量,A O B,A1O1B1,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,l,A,B,A1,B1,注意：,二面角的平面角必须满足：,平面角是直角的二面角叫做直二面角,二面角的大小的范围:,练习：指出下列各图中的二面角的平面角：,二面角B-BC-A,l,二面角-l-,ACl,BD l,O,O,二面角A-BC-D,O,E,4.二面角的平面角的作法：,1、定义法 根据定义作出来,2、垂面法 作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到,3、三垂线定理法 借助三垂线定理或
4、 其逆定理作出来,5.二面角的计算：,1、找到或作出二面角的平面角,2、证明 1中的角就是所求的角,3、计算出此角的大小,例1,例2,一“作”二“证”三“计算”,A,O,D,例1、已知锐二面角 l，A为面内一点，A到 的距离为 2，到 l 的距离为 4；求二面角 l 的大小。,解：,过 A作 AO于O，过 O作 OD l 于D，连AD则由三垂线定理得 AD l,AO=2，AD=4,AO为 A到的距离，AD为 A到 l 的距离,ADO就是二面角 l 的平面角,sinADO=,ADO=60,二面角 l 的大小为60,在RtADO中，,AOAD,例 2 如图，已知A、B是120的二面角l棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且ACl，BDl，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。,A,D,B,C,l,BDl AOBD，四边形ABDO为矩形,DO l，AO=BD ACl，AOl，l 面CAODO面CAO,又CO面CAO CODO,O,在Rt COD中，DO=AB=3,E,解：在平面内，过A作AOl，使AO=BD,连结CO、DO,则OAC就是二面角l的平面角，即 OAC 120，,BD=1 AO=1，在OAC中，AC=2，,小结,一、二面角的定义,二、二面角的表示方法,三、二面角的平面角,四、二面角的平面角的作法,五、二面角的计算,河堤斜面,课后练习：,
