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1、函,数,的,应,用,第三章,本章内容,3.1 函数与方程,3.2 函数模型及其应用,第三章 小结,本章小结,本章小结,知识要点,自我检测题,复习参考题,返回目录,1.方程的根与函数的零点,函数 y=f(x)的零点 方程 f(x)=0.,若 f(a)f(b)0,则 f(x)在(a,b)内必有零点.,若 y=f(x)是区间 a,b 上的单调函数,且 f(a)f(b)0,则 y=f(x)在区间(a,b)内有且只有一个零点.,2.用二分法求方程近似根,(1)求使 f(a)f(b)0 的单调区间(a,b).,(2)取 a,b 的中点 x1,判断 f(x1)f(a)与 f(x1)f(b)的正负.,(3)取
2、积为负的两数的区间,判断区间长度是否小于精确度e.,(4)若满足精确度,则取区间内任一数为近似根;若不满足精确度,再重复上面的步骤.,3.几种函数模型的增长特点,x 很小时,对数函数,增速最快,但是负值.,x 很小时,直线快于,x 较小时,幂函数快,幂函数和指数函数.,于指数函数.,x 增大到一定数值时,指数函数最快,对数函数最慢.,“直线上升,指数爆炸,对数增长.”,4.函数应用,(1)从图表中获取数据信息.,(2)求已给函数模型中的常量,确定函数.,(3)根据所获数据的规律建立函数模型.,(4)画散点图,选择函数模型,求出所选模型中的常量,建立函数式.,复习参考题,复习参考题,返回目录,复
3、习参考题,A 组,1.若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内,那么下列命题中正确的是()(A)函数 f(x)在区间(0,1)内有零点(B)函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点(C)函数 f(x)在区间 2,16)上无零点(D)函数 f(x)在区间(1,16)内无零点,C,2,16)上定无零点.,由题设知,零点必在区间(0,2)内.,分析:,C 选项正确.,分析:,由图象看出在前半周时,y 随 x 的增加,而增加;,后半周,y 随 x 的增加而减小.,由上判断可能选 B 或 C.,而 B 中,点 P 在某一边上运动时,y 随 x
4、是线性,增长,图象应是线段.,所以应选 C.,C,3.列车从A地出发直达500 km外的B地,途中要经过离A地200 km的C地.假设列车匀速前进,试画出列车与C地的距离关于时间的函数图象.,解:,先写出函数关系式:,设列车的速度为 v km/h,经过 t h后列车距C地,的距离为 y km.,AC段:,y=200-vt,0vt200.,CB段:,y=vt-200,200vt500.,则,画函数图象如下:,h 随 x 直线型升高.,h 增加先慢后快.,h 增加先快后慢.,h 直线型先慢后快.,5.借助计算器或计算机,用二分法求方程 2x3-4x2-3x+1=0 的最大的根(精确到 0.01).
5、,解:,设 f(x)=2x3-4x2-3x+1,算得几组函数值如下:,由表知函数在(-1,0),(0,1),(2,3)内各有一根,最大根在(2,3)内.,5.借助计算器或计算机,用二分法求方程 2x3-4x2-3x+1=0 的最大的根(精确到 0.01).,解:,设 f(x)=2x3-4x2-3x+1,f(2)=-50,(2,3),2.5,-0.25,f(3)=100,(2.5,3),2.75,4.09,(2.5,2.75),2.625,1.74,(2.5,2.625),2.5625,0.70,(2.5,2.5625),2.53125,0.21,(2.5,2.53125),2.515625,-
6、0.02,(2.515625,2.53125),2.5234375,0.09,(2.515625,2.5234375),|2.515625-2.5234375|0.0078,0.01,最大根为,x2.52.,6.借助计算器或计算机,用二分法求函数 f(x)=lgx 和 f(x)=的交点的横坐标(精确到 0.1).,解:,交点的横坐标即方程 的根,由图象知两函数只有一个交点.,设,f(1)=-1,f(2)-0.2,f(3)0.14,于是知交点在(2,3)内.,6.借助计算器或计算机,用二分法求函数 f(x)=lgx 和 f(x)=的交点的横坐标(精确到 0.1).,解:,设,f(2)-0.20,
7、f(3)0.140,(2,3),2.5,-0.002,(2.5,3),2.75,0.08,(2.5,2.75),2.625,0.04,(2.5,2.625),2.5625,0.02,(2.5,2.5625),0.1,交点的横坐标为,x2.5.,|2.5-2.5625|0.06,解:,作DEAB于E,周长 y=,4+2x+DC,得 DC=4-2AE.,E,在RtADB中,DA2=,AEAB,即 x2=4AE,P,梯形的腰需大于 0,而小于如图的AP,AP=,定义域为,8.某种放射性元素的原子数 N 随时间 t 的变化规律是 N=N0e-lt,其中 N0,l 是正的常数.(1)说明函数是增函数还是
8、减函数;(2)把 t 表示为原子数 N 的函数;(3)当 时,求 t 的值.,解:,(1),函数变为,指数型函数 是(-,+)上的,减函数.,8.某种放射性元素的原子数 N 随时间 t 的变化规律是 N=N0e-lt,其中 N0,l 是正的常数.(1)说明函数是增函数还是减函数;(2)把 t 表示为原子数 N 的函数;(3)当 时,求 t 的值.,解:,(2),N=N0e-lt,当 时,(3),9.某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应.若公司本次新产品生产开始 x 月后,公司的存货量大致满足模型 f(x)=-3x3+12x+8,那么下次生产应在多长时间后开始?,解:,若存货量大于 0
9、,则能维持市场供应;反之,则不能,需进行生产.,f(1)=17,f(2)=8,f(3)=-37,两个月后就应开始生产.,答:下次生产应在两个月后开始.,B 组,1.经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格(自变量),而用横轴表示产品数量(因变量).下列供求曲线,哪条表示厂商希望的供应曲线,哪条表示客户希望的需求曲线?为什么?,答:图(A)中的,曲线是厂商希望的.,因为产品数量随着,单价的增加而增大,产值就有很大的增加.,图(B)中的曲线是客户希望的.,因为产品数量随着,单价的降低而增加,客户可降低购买成本.,2.如图,OAB是边长为 2 的正三角形,记OAB位于直线 x=t(t0)左侧
10、的图形的面积为 f(t),试求函数 f(t)的解析式,并画出函数 y=f(t)的图象.,x=t,C,D,解:,其面积分为三种情况:,当 0t1时,f(x)=,当 1 t 2时,f(t)=,SOAB-SADC,当 t2 时,f(x)=,得函数的解析式为:,画图象如图:,自我检测题,返回目录,检测题,一、选择题(每小题只有一个正确选项)1.方程x-1=lgx必有一个根的区间是()(A)(0.1,0.2)(B)(0.2,0.3)(C)(0.3,0.4)(D)(0.4,0.5)2.函数y=与函数y=lgx的图象的交点的横坐标(精确度0.1)约是()(A)1.3(B)1.4(C)1.5(D)1.63.如
11、果一个立方体的体积在数值上等于V,表面面积在数值上等于S,且V=S+1,那么这个立方体 的一个面的边长(精确度0.01)约为()(A)5.01(B)5.08(C)6.03(D)6.054.实数a,b,c是图象连续不断的函数y=f(x)定义域中的三个数,且满足abc,f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,则函数y=f(x)在区间(a,c)上的零点个数为()(A)2(B)奇数(C)偶数(D)至少是25.假设银行1年定期的年利率为2%.某人为观看2008年的奥运会,从2001年元旦开始在银行存款1 万元,存期1年,第二年元旦再把1万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存一年定期存款,以后每年元旦都
12、这样存,则到2007年年底,这个人的银行存款共有(精确到0.01万元)()(A)7.14万元(B)7.58万元(C)7.56万元(D)7.50万元6.若方程 ax-x-a=0有两个解,则a的取值范围是()(A)(1,+)(B)(0,1)(C)(0,+)(D)二、填空题7.函数y=x2与函数y=xlnx在区间(0,+)上增长较快的一个是.8.若方程x3-x+1=0在区间(a,b)(a,b是整数,且b-a=1)上有一根,则a+b=.9.某商品进货单价为30元,按40元一个销售,能卖40个;若销售单价每涨1元,销售量减少一个,要 获得最大利润时,此商品的售价应该为每个 元.10.已知图象连续不断的函
13、数y=f(x)在区间(a,b)(b-a=0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个 零点(精确度0.0001)的近似值,那么将区间(a,b)等分的次数至少是.,三、解答题11.截止到1999年年底,我国人口约13亿,如果经过30年后,我国人口不超过18亿,那么人口年平 均增长率不应该超过多少(精确到0.0)?12.某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与上 市时间t(单位:天)的数据如下表:(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系.Q=at+b,q=at2+bt+c,Q=alogbt.(2)利用
14、你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.,一、选择题(每小题只有一个正确选项)1.方程 x-1=lgx 必有一个根的区间是()(A)(0.1,0.2)(B)(0.2,0.3)(C)(0.3,0.4)(D)(0.4,0.5),思路:,f(a)f(b)0.,解:,设 f(x)=x-1-lgx.,检验各选项:,f(0.1)=0.1-1-lg0.1,f(0.5)=0.5-1-lg0.5,=0.10,=0.5-lg5,0,f(0.3)=0.3-1-lg0.3,=0.3-lg3,0,f(0.2)=0.2-1-lg0.2,=0.2-lg2,0,f(0.1)f(0.2)0.,A,2.函数
15、 y=与函数 y=lgx 的图象的交点的横坐标(精确度0.1)约是()(A)1.3(B)1.4(C)1.5(D)1.6,分析:,两函数图象的交点横坐标,即方程,D,3.如果一个立方体的体积在数值上等于 V,表面面积在数值上等于 S,且 V=S+1,那么这个立方体的一个面的边长(精确度 0.01)约为()(A)5.01(B)5.08(C)6.03(D)6.05,解:,设这个立方体的边长为 x,则 V=x3,S=6x2,于是得 x3=6x2+1.,设 f(x)=x3-6x2-1,f(5)=53-652-1=-260,f(6)=63-662-1=-10,f(6.05)=6.053-66.052-10
16、.830,f(6)f(6.5)0.,C,4.实数 a,b,c 是图象连续不断的函数 y=f(x)定义域中的三个数,且满足 abc,f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,则函数 y=f(x)在区间(a,c)上的零点个数为()(A)2(B)奇数(C)偶数(D)至少是2,分析:,f(a)f(b)0,知在(a,b)内有零点;,f(b)f(c)0,知在(b,c)内有零点.,各种情况如图:,D,5.假设银行1年定期的年利率为2%.某人为观看2008年的奥运会,从2001年元旦开始在银行存款 1 万元,存期 1 年,第二年元旦再把 1 万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存一年定期存款,以后每年元旦都这
17、样存,则到2007年年底,这个人的银行存款共有(精确到 0.01 万元)()(A)7.14万元(B)7.58万元(C)7.56万元(D)7.50万元,分析:,2001年底:,1(1+2%)=1.02.,2002年底:,(1+1.02)(1+2%),2003年底:,(1+1.02+1.022)(1+2%),2007年底:,1.02+1.022+1.026+1.027,7.58(万元).,=1.02+1.022.,=1.02+1.022+1.023.,B,6.若方程 ax-x-a=0 有两个解,则 a 的取值范围是()(A)(1,+)(B)(0,1)(C)(0,+)(D),解:,原方程变为 ax=
18、x+a,方程解的个数即为两函数 y=ax 与 y=x+a 的交点,个数.,当 0a1 时,如图:,只有一个交点,排除 B,C 选项.,当 a1 时,如图:,有两交点.,A,二、填空题 7.函数 y=x2 与函数 y=xlnx 在区间(0,+)上增长较快的一个是.,这里幂函数增长最快,如图.,y=x2,分析:,8.若方程 x3-x+1=0 在区间(a,b)(a,b 是整数,且 b-a=1)上有一根,则 a+b=.,解:,设 f(x)=x3-x+1,估算 f(整数)接近于 0 的正负值,f(0)=10,f(-1)=10,f(-2)=-50,f(-1)f(-2)0,b=-1,a=-2.,-3,9.某
19、商品进货单价为 30元,按 40元一个销售,能卖 40 个;若销售单价每涨 1 元,销售量减少一个,要获得最大利润时,此商品的售价应该为每个 元.,解:,设涨价 x 元,(40+x)(40-x)-30(40-x),利润 y=,=-x2+30 x+400,y最大=625(元).,55,10.已知图象连续不断的函数 y=f(x)在区间(a,b)(b-a=0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精确度 0.0001)的近似值,那么将区间(a,b)等分的次数至少是.,分析:,等分 1 次,等分 2 次,等分 x 次,两边取常用对数得,9.97,至少要等分10次.,10,三、解答题 11.截止
20、到1999年年底,我国人口约 13 亿,如果经过 30 年后,我国人口不超过 18 亿,那么人口年平均增长率不应该超过多少(精确到0.01)?,解:,设人口平均增长率为 x,则,13(1+x)3018,0.005,1+x100.005,1.01,x0.01.,答:人口年平均增长率不应该超过1%.,解:,而 Q=at+b 和 Q=alogbt 在(0,+)上是关于 t 的单调函数,根据表中数据,在50,250上,函数不单调,只有 Q=at2+bt+c 较能描述 Q 与 t 的变化关系.,(1),解:,将表中三组数据代入 Q=at2+bt+c 得方程组,(2),解得,即函数为 Q=0.005t2-1.5t+212.5.,Q最小=,100(元/102kg).,答:上市天数为150天时,种植成本最低为100元/102kg.,完,耶！这本书完了！,
