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1、题型一 求数值型矩阵的逆矩阵,基本方法有：1.定义法：设A的逆矩阵为X，由AX=E（或XA=E），求出X即可。2.公式法：3.初等变换法：,4.分块求逆法：若A能分成以下类型之一时,当A11，A22可逆时，可用分块求逆公式进行计算,例1.设A1，A2分别为m,n阶矩阵，试求的逆矩阵。,解：,得,则,即,例2.设A，B，A+B都是可逆矩阵，试求：（A-1+B-1）-1。,解：,（1）A-1+B-1=B-1（BA-1+E）=B-1（BA-1+AA-1）=B-1（A+B）A-1,（2）（A-1+B-1）-1=B（A+B）-1A,题型二 A为抽象矩阵，讨论A的可逆性,1.证明A可逆的方法（1）把已知矩
2、阵等式写为AB=C的形式，AB=AB=C0知A0，从而可逆；（2）证明AX=0只有零解，则A0，从而可逆；（3）证明的特征值全不为零即可。,2.证明A不可逆的方法（1）反证法，假设A可逆，再在等式两边乘以A-1，导出矛盾；（2）直接计算A=0；（3）证明A有零的特征值；（4）证明AX=0只有非零解，则A不可逆。,例1.设n阶矩阵A满足关系式A3+A2-A-E=0，证明A可逆，并求A-1。,解：,由A3+A2-A-E=0可得A（A2-A-E）=E从而 A（A2-A-E）=（A2-A-E）A=1于是A0，故A可逆，且A-1=A2-A-E,例2.设A，B为n阶矩阵，且E-AB可逆，证明E-BA可逆。
3、,解：,用反证法设E-AB不可逆，则存在X0，使（E-AB）X=0即 X=BAX 于是 AX=ABAX，令Y=AX，则Y0，否则若 Y=0，则有 X=BAX=BY=0，这与X0矛盾，从而有 Y=ABY,Y 0即（E-AB）Y=0,Y 0这与E-AB可逆矛盾，故E-AB不可逆,题型三 考查矩阵运算的特殊性,矩阵运算不满足交换律ABBA，涉及到两个矩阵是否可交换，一般联想到逆矩阵的定义；但矩阵运算满足结合律：A(BC)=(AB)C，巧妙地运用结合律往往可以简化计算。,例1.设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B-C为？,解：由B=E+AB，C=A+CA，知（
4、E-A）B=E，C（E-A）=A，可见，E-A与B互为逆矩阵，于是B（E-A）=E,从而有（B-C）（E-A）=E-A，而 E-A可逆，故B-C=E。,例2.,解：,题型四 解矩阵方程,（1）含有未知矩阵的等式称为矩阵方程，解矩阵方程的问题，本质上是考查矩阵的运算，特别是乘法和逆运算，因为在解矩阵方程的过程中，应尽量利用矩阵和运算性质先化简，再计算。（2）矩阵方程的基本形式有：AX=B，XA=B，AXB=C，若A为可逆矩阵时，其解分别为X=A-1B，X=BA-1以及X=A-1CB-1（这里要求B可逆）。（3）当A不可逆时，矩阵方程一般应转化为解线性方程组。,例1,解：,（若先计算出方程中的 及A-1，然后再解方程求X，则计算过程会十分复杂，为了避免求 及A-1，可用公式在等式两边同时左乘矩阵A进行化简。）,解：,例1,解：,题型五 求矩阵的秩,例1,解：,因为A的任一二阶子式,而A为非零矩阵，故秩（A）1，从而秩（A）=1,
