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1、,一元微积分学,大 学 数 学（1）,第一讲 集合与映射,授课教师：易学军,欢迎观看,1 教学要求.答疑安排2相关竞赛3书籍选购4学科介绍.本学期内容,第一章 集合与函数,本章学习要求：正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的 分析表示和图形特征。正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复 合函数进行分解。会求函数（包括分段函数）的反函数。了解“取整函数”和“符号函数”。能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。,第一节 集合与映射,一、集合的基本概念二、集合的基本运算三、映射的基本概念四、实数、区间、邻域,康托尔将集合定义为：所谓集合是把我们直观和
2、思维中确定的、相互间有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一个整体来考虑的结果。,1.集合,一、集合的基本概念,2.集合的表示法,列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用 花括号括上。,表示集合的方法有两种:,注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。（唯一，互异，无序）,二、集合的基本运算,在wen图中，用矩形表示全集。,1.集合运算的概念,一般说来,A,B,AB=,A,B,迪卡尔集,1.实数集与数轴,实数集为有理数集与无理数集的并.,实数具有稠密性和连续性.,aR，必 n Z，使 n a n+1.,实数与数轴上的点一一对应.,三、实数、区间、邻域,2.绝对值、距
3、离,任一实数 a 的绝对值|a|定义为：,数轴上任意两点 a，b 之间的距离为,d=|a b|。,3.区间,(1)闭区间 a,b=x|a x b,a,b,(2)开区间(a,b)=x|a x b,a,b,。,。,(,),(a,b=x|a x b(称为左开右闭区间),a,b)=x|a x b(称为右开左闭区间),(3)半开闭区间,a,b,。,),(4)无穷区间,a,+)=x|x a,(a,+)=x|x a,(,b=x|x b,(,b)=x|x b,(,+)=x|x+=x|xR,a,(+),a,+),(5)区间长度,不论是闭区间、开区间、半开闭区间，其长度计算均按此式进行。,x0+,(,),x0,x
4、0,4.邻 域,x0+,(,),x0,x0,点 x0=3 的=0.1 邻域为,点 x0=3 的去心=0.1 邻域为,四、映射的基本概念,1.映射,注意：,1)映射是集合间的一种对应关系.集合 X、Y,中所含的元素不一定是数，可以是其它的一,些对象(或事物)。,2)对每一个x X，只有唯一的一个y Y 值与之,对应关系不一定就是映射。,对应，这一点很重要，它说明集合间元素的,3)映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。,Rf,X,Y,f,y2,x1,x2,x3,y1,.,.,.,.,.,设 f 为集 X 到集 Y 的一个映射。,如果 x X，存在唯一的 y=f(x)Y 与之对应；,
5、反过来,若 y Y,存在唯一的 x X 使得 y=f(x),则称 f 是 X 到 Y 的一一对应。,2.一一对应,第二、三节 函 数,一、函数的基本概念二、函数的基本性质三、基本初等函数 四、初等函数,一、函数的基本概念,1.函数的定义,2.函数的表示法,解 析 法,表 格 法,图 示 法,自己看书！,3.求函数定义域举例,数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的定义域是一件十分重要的事情。通常依据：分式的分母不能为零；负数不能开偶次方；已知的一些函数的定义域；物理意义；几何意义等来确定函数的定义域。,将 x 表示为:,函数,称为取整函数，它是一个分段函数。,想想取整函数的图形是什么样子？,定
6、义域与对应规则均相同的两个函数相同。,如何判断两个函数是否相同?,4.判断函数相同,5.函数的图形,称为函数 f(x)的图形。,在平面上建立直角坐标系O x y，则 x y 平面上的点集,是否所有的函数均可绘出几何图形？,单调性,有界性,奇偶性,周期性,二、函数的基本性质,1.单调性,在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调增加,记为。,在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调减少,记为。,画画图就一目了然.,我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。,2.有界性,有界性,设函数 y=f(x)在区间 I 上有定义。,若存在实数 A,B,使对一切 x
7、 I 恒有,A f(x)B,则称函数 y=f(x)在区间 I 上有界。,否则,称函数 y=f(x)在区间 I 上无界。,函数有界性的定义,y=f(x),x,x,y,y,A,A,B,B,O,O,y=f(x),函数 y=f(x)在区间 I 上有界,你能理解吗?,成立，则称函数 y=f(x),在区间 I 上是上方有界的,简称有上界。,设函数 y=f(x)在区间,I 上有定义。,若存在实数 M(可正，,可负)，对一切 x I 恒有,y=f(x),f(x)M,f(x)m,在区间 I 上是下方有界的,简称有下界。,设函数 y=f(x)在区间,I 上有定义。,若存在实数 m(可正，,可负),对一切 x I
8、恒有,成立，则称函数 y=f(x),y=f(x),函数 y=f(x)有界,f(x)既有上界又有下界.,在区间 I 上:,无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区,间 I 上的下确界，记为,无穷多个上界，所有上界中最小者称为函数在区,间 I 上的上确界，记为,有上(下)界的函数是否必有上(下)确界？,如何证明或判断函数无界？,提一个问题：,3.奇偶性,若 x Df,有,f(x)=f(x),成立，则称 f(x),为偶函数。,偶函数的图形 关于 y 轴对称。,若 x Df,有,f(x)=f(x),成立，则称 f(x),为奇函数。,奇函数的图形 关于坐标原点对称。,设函数 y=f(x)的定义域 Df
9、 关于坐标原点对称。,4.周期性,三、基本初等函数,大家在中学就已熟悉它们了！,以下六种简单函数称为基本初等函数,1.常值函数 y=C(C 为常数),2.幂函数 y=x(R 为常数),3.指数函数 y=a x(a 0,a 1),4.对数函数 y=loga x(a 0,a 1),5.三角函数 y=sin x y=cos x y=tan x y=cot x y=sec x y=csc x,6.反三角函数 y=arcsin x y=arccosx y=arctan x y=arccot x y=arcsec x y=arccsc x,详 情 见 书,四、复合函数、反函数,？,如何,描述,1.复合函数
10、,的每一个 x 所对应的 u 值，都属于 f(u)的定义域 Df，,其中，u 称为中间变量。,由函数,可构成复合函数,函数复合而成?,它是由以下几个函数复合而成:,以上过程称为 对复合函数的分解,是一一对应(即映射 f 是一一对应),称 f 的,f 的反函数.,2。反函数的定义,反函数的图形,将函数 y=f(x)的反函数写成 x=f 1(y)时，函数与其反函数的图形相同.,将函数 y=f(x)的反函数记为 y=f 1(x)时，函数 y=f(x)与其反函数 y=f 1(x)的图形关于第、象限的角平分线 y=x 对称。,反函数的图形,综上所述，所求反函数为,故所求反函数为,增加的.,减少,减少,五、初等函数,由基本初等函数经过有限次四则运算,和复合运算而成的函数,称为初等函数。,例如,都是初等函数.,一般说来,分段函数不是初等函数.,但有个别分段函数例外，例如,该幂指函数是一个初等函数.,六、双曲函数反双曲函数,学习双曲函数时,注意与中学学习过的三角函数进行比较,找出它们之间有关定义及计算公式的相同处和不同处。,双曲函数,双曲正弦,双曲余弦,双曲正切,双曲余切,双曲正割,双曲余割,作业：P17；P261（3），4(4),5(4)，9（4）,
