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1、7.7 内容回顾,非齐次方程的特解,对应齐次方程通解Y+,(高阶)线性非齐次方程的通解=,1.,线性齐次方程的解的线性组合=线性齐次方程的解,2.,3.n个函数在 I 上线性相关与,线性无关的概念.,线性无关,常数,是 n 阶线性齐次方程,的 n 个线性无关解,则方程的通解为,4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理),以上关于解的结构均可推广到 n 阶线性非齐次方程.,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,7.8 常系数齐次线性微分方程,说明:,解本类方程是最简
2、单的,只需要求特征方程(代数方程)之根,经转化后,第七章,因为他不需要积分,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,(r 为待定常数),我们猜想的解为,则微分,其根称为特征根.,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则得微分方程有一个特解,设另一特解,(目的是找出与y1线性无关的解),代入方程得:,是特征方程的二重根,取 C(x)=x,则得,因此原方程的通解为,(常系数变易法),也是解,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,原方程的通解为,小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广
3、到高阶常系数线性微分方程.,(推导略),得通解.,若特征方程含 k 重复根,若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:,将不同根对应的项加在一起得原方程通解(系数要区分开).,例1.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2.求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,例3.,的通解.,解:,令,代入原方程得:,特征方程:,特征根:,原方程通解:,求,的通解:,注:本题为二阶方程,但不是上节中的 可降阶方程也不是本节中二阶线 性常系数齐次方程.,对应齐次方程:,特征方程:,
4、特征根:,对应齐次方程通解,观察一个原方程的特解,原方程通解:,+x,例4.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例5.,解:特征方程:,特征根:,原方程通解:,例6.,解:特征方程:,即,其根为,方程通解:,例7.,解:特征方程:,特征根为,则方程通解:,(二重根),例8(P341第5题),一圆柱形浮筒,直径D=0.5米,铅直放在水,中,当稍向下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的周期为,2秒,求浮筒的质量.,解:,建数轴如图:,x,o,浮筒离开平衡处o的位移为x,据题意得:,通解,(a,b为任意实数),周期,所以,194.96(kg).,内容小结,特征根:,(1)当,时,通解
5、为,(2)当,时,通解为,(3)当,时,通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.,思考与练习,求方程,的通解.,答案:,通解为,通解为,通解为,作业 P340 1(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3,备用题,为特解的 三 阶常系数线性齐次微分方程.,解:根据给定的特解知特征方程有根:,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,原题为选择题,1.,解:,给出以,(a,b为任意常数)为通解的微分方程,(1),(2),(1)+(2)得:,即,(2)2(1)得:,(3),(4),将(3),(4)式代入得:,即,即,由通解知特征方程有根:,特征方程为,故所求方程为,P327 2(2),以,2.,?,是所求方程对应的齐次方程的解,设,是某二阶线性非齐次微分方程的解,求此微分方程.,3.,解:,(97考研),对应的齐次方程的特征方程:,又,所以所求微分方程为,对应的齐次方程为:,求幂级数,的和函数,(02考研),解:,收敛域显然为(-,+),设和函数为,通解为,(1),(2),(3),解得:,特征方程,4.,所以和函数,作业 P310 1(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3,
