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1、,专题八 数学思想方法,第 4讲 转化与化归思想,思 想 方 法 概 述,热 点 分 类 突 破,真 题 与 押 题,思想方法概述,转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题,转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等各种变换、具体解题方法都是转化
2、的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中,1.转化与化归的指导思想(1)把什么问题进行转化，即化归对象.(2)化归到何处去，即化归目标.(3)如何进行化归，即化归方法.化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.,2.常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：,(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较
3、复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.,(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.,(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定.(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决.(10)补集法：如果正面解
4、决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.,热点一 特殊与一般的转化,热点二 函数、方程、不等式之间的转化,热点三 正难则反的转化,热点分类突破,热点一 特殊与一般的转化,解析找特殊情况，当ABy轴时，AB的方程为y1，则A(2，1)，B(2,1)，过点A的切线方程为y1(x2)，即xy10.同理，过点B的切线方程为xy10，则l1，l2的交点为(0，1).答案A,解析由于直接求解较困难，可探求一般规律，,变式训练1,(1)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c
5、成等差数列，则 _.,解析根据题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进行计算.令a3，b4，c5，则ABC为直角三角形，,(2)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，则 _.,解析因为xf(x1)(1x)f(x)，,使f(x)特殊化，可设f(x)xg(x)，,其中g(x)是周期为1的奇函数，再将g(x)特殊化，可设g(x)sin 2x，则f(x)xsin 2x，,答案0,热点二 函数、方程、不等式之间的转化,解析1,2是方程ax2bx20的两实根，,由(3 1)x3x2x20，,答案D,(2)已知函数f(x)3e|
6、x|.若存在实数t1，)，使得对任意的x1，m，mZ且m1，都有f(xt)3ex，则m的最大值为_.,解析因为当t1，)且x1，m时，xt0，所以f(xt)3exextext1ln xx.所以原命题等价转化为：存在实数t1，)，使得不等式t1ln xx对任意x1，m恒成立.,令h(x)1ln xx(x1).,因为h(x)10，,所以函数h(x)在1，)上为减函数，又x1，m，所以h(x)minh(m)1ln mm.所以要使得对x1，m，t值恒存在，只须1ln mm1.,且函数h(x)在1，)上为减函数，所以满足条件的最大整数m的值为3.答案3,变式训练2,(1)若关于x的方程9x(4a)3x4
7、0有解，则实数a的取值范围是_.,解析设t3x，则原命题等价于关于t的方程t2(4a)t40有正解，,a8，即实数a的取值范围是(，8.答案(，8,(2)设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1axx2)f(2a)对任意a1,1恒成立，则x的取值范围为_.,解析f(x)在R上是增函数，由f(1axx2)f(2a)，可得1axx22a，a1,1，a(x1)x210，,对a1,1恒成立.令g(a)(x1)ax21，则当且仅当g(1)x2x20，g(1)x2x0恒成立，解之，得x0或x1.故实数x的取值范围为x1或x0.答案(，10，),热点三 正难则反的转化,例3若对于任意t1,2，函数g(x
8、)x3 x22x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_.,解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立.,由得3x2(m4)x20，,即m4 3x在x(t,3)上恒成立，,所以m4 3t恒成立，则m41，即m5；,由得m4 3x在x(t,3)上恒成立，,变式训练3,若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间1,1内至少存在一个值c，使得f(c)0，求实数p的取值范围.,解如果在1,1内没有值满足f(c)0，,将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则(1)熟悉化原则：
9、将陌生的问题转化为我们熟悉的问题.(2)简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题.(3)直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题转化).,本讲规律总结,(4)正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.,真题感悟,押题精练,真题与押题,1,2,真题感悟,1.(2014山东)设集合Ax|x1|2，By|y2x，x0,2，则AB等于()A.0,2 B.(1,3)C.1,3)D.(1,4),3,4,解析由|x1|2，解得1x3，由y2x，x0,2，解得1y4，所以AB(1,3)1,41,3).,C,
10、1,2,真题感悟,3,4,解析f(x)f(x)sin x，f(x2)f(x)sin x.f(x2)f(x)sin xsin xf(x).f(x)是以2为周期的周期函数.,1,2,真题感悟,3,4,1,2,真题感悟,3,4,答案A,3.(2014陕西)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_.,1,2,真题感悟,3,4,解析圆C的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x2(y1)21.,x2(y1)21,4.(2014山东)已知实数x，y满足axln(y21)C.sin xsin yD.x3y3,1,2,真题感悟,3,4,解析因为0y.采用赋值法判断，,1,2
11、,真题感悟,3,4,A中，当x1，y0时，1，A不成立.,B中，当x0，y1时，ln 1ln 2，B不成立.,C中，当x0，y时，sin xsin y0，C不成立.D中，因为函数yx3在R上是增函数，故选D.答案D,押题精练,1,2,3,1.已知函数f(x)|ex|(aR，e是自然对数的底数)在区间0,1上单调递增，则a的取值范围是()A.0,1 B.1,0C.1,1 D.(，e2e2，),4,5,6,解析因为函数f(x)在区间0,1上单调递增，,押题精练,1,2,3,4,5,6,取a1，则函数f(x)ex，,当0 x1时，f(x)ex 0，,所以函数f(x)在区间0,1上单调递增，排除A，D
12、；,取a1，则函数f(x)ex，,押题精练,1,2,3,4,5,6,所以函数f(x)在区间0,1上单调递增，排除B，故选C.答案C,押题精练,1,2,3,4,5,6,A,押题精练,1,2,3,4,5,6,押题精练,1,2,3,4,5,6,答案C,押题精练,1,2,3,4,5,6,解析令tf(x)，则该函数的零点即f(t)10的解.先解方程f(t)1.当t0时，方程为2t1，解得t0；当t0时，方程为log2t1，解得t2；,所以方程f(t)1的解为0或2.再解方程f(x)0和f(x)2.当x0时，因为2x0，故由2x2，得x1；当x0时，由log2x0，得x1；由log2x2，得x4；故函数y
13、f(f(x)1的零点为1,4，共2个.答案2,押题精练,1,2,3,4,5,6,押题精练,1,2,3,4,5,6,押题精练,1,2,3,4,5,6,故第组是区间1,1上的正交函数；,故第组不是区间1,1上的正交函数；,故第组是区间1,1上的正交函数.综上，满足条件的共有两组.答案C,押题精练,1,2,3,4,5,6,押题精练,1,2,3,4,5,6,解f(x)在R上为奇函数,又在0，)上是增函数，f(x)在R上为增函数，且f(0)0.由题设条件可得，f(cos 23)f(4m2mcos)0.又由f(x)为奇函数，可得f(cos 23)f(2mcos 4m).f(x)在R上为增函数，cos 232mcos 4m，即cos2mcos 2m20.,押题精练,1,2,3,4,5,6,押题精练,1,2,3,4,5,6,令cos t，0，0t1.,于是问题转化为对一切0t1，不等式t2mt2m20恒成立.,t22m(t2)，即m 恒成立.,存在实数m满足题设的条件，即m42.,
