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1、概率与数理统计课件,天津科技大学理学院数学系,第十二单元 随机变量的数字特征,第十二单元 随机变量的数字特征总结,教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数 定律.教学重点：理解数学期望和访查的概念，掌握它们的性质与计算，记住常用分布的数学期望和方差.教学难点：随机变量函数的数学期望.知识要点回顾：,随机变量 的数学期望(离散型，连续型).随机变量 的函数 的数学期望.二维随机变量 的函数 的数学期望.数学期望的性质.随机变量 的方差(离散型，连续型).方差的性质.,随机变量 的 阶原点矩.随机变量 的 阶中心矩.随机变量 与 的协方差及其性质 随机变量 与 的相关系数及其性质
2、切比雪夫不等式，切比雪夫定理，伯努利定理.,随机变量的数字特征典型例题,下一页,总 结,上一页,随机变量的数字特征典型例题解答,返回,解:注：计算随机变量函数的数学期望原则上有两种方法：一种是先求出随机变量的概率分布或概率密度，再按数学期望的定义计算；一种是直接带入要点2种所列的公式。通常用后一种方法较简便。,2.设二维随机变量 的概率密度 求.,随机变量的数字特征典型例题解答,下一页,注：二维随机变量的许多计算都可归结为计算二维随机变量函数的数学期望，所以要点3所列公式应会灵活应用。,返回,返回,随机变量的数字特征典型例题解答,3.填空(1)已知，则.(2)随机变量 相互独立,又,则.(3)
3、设 独立且同分布，则.(4)随机变量 的方差为2，则根据切比雪夫不等式，估计,解：(1)(2)(3)或(4),随机变量的数字特征典型例题解答,返回,4.一台设备有三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件相互独立，以 表示同时需要调整的部件数，求数学期望 和方差.,解：由 服从“0-1”分布，得 则注：利用性质来计算数学期望和方差往往较有效，应该学会这种方法。另外，应记住常用分布相应的数学期望和方差。,分析：先引入新随机变量，则 相互独立，再利用.,随机变量的数字特征典型例题解答,返回,5.甲乙两队比赛，若有一队先胜四场，则比赛结束。假定甲队在每场比
4、赛中获胜的概率为0.6，乙队为0.4，求比赛场数的数学期望。,解：（场）,注：对应用题而言，大量计算是计算概率，这就要求掌握好以前所学过的各种计算概率的方法。,随机变量的数字特征典型例题解答,返回,6.设随机变量 服从 分布，其概率密度，其中 是常数，求.,解：又 故,随机变量的数字特征典型例题解答,返回,7.设 在区域 上服从均匀分布，求,解：,注：二维随机变量服从均匀分布也是常见的情形。可以自然的推广到n 维随机变量服从均匀分布，其联合概率密度写法是类似的。,随机变量的数字特征典型例题解答,返回,8.计算下列各题(1)设 与 相互独立，求(2)设 与 相互独立，其数学期望与方差均为已知值，
5、求,解：(1)(2),随机变量的数字特征典型例题解答,下一页,9.设二维随机变量 的概率密度，试问：(1)与 是否相互独立？(2)是否相关？,解：(1)的 边际概率密度分别为 由于，所以 与 不相互独立。,(2)（利用奇函数性质）所以，与 不相关。,返回,总 结,随机变量的分布函数完整的描述随机变量的统计特征，但在实际中要找出随机变量的分布函数，或概率分布、概率密度，有时是十分困难的。而许多实际问题只需要知道随机变量的某些特征数字就可以了。这说明掌握特征数字、即数学期望、方差等等的概念、计算及相关计算是十分重要的。学习随机变量的数字特征，要求理解数学期望与方差的定义，掌握它们的性质与计算；理解独立于相关的概念；会求协方差与相关系数；了解高阶矩的概念；了解切比雪夫不等式与大数定律。,
