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1、第六章,数理统计的基本概念,数理统计和概率论一样都是研究随机现象的规律性.概率论是从给定分布出发来研究随机现象的规律，数理统计则是从实际观测的数据资料出发研究的.,数理统计处理问题基本思想：从被研究对象的全体中抽取一部分，根据这部分的情况对整体作出判断.,数理统计要解决两个问题：(1)抽取的对象要合理.即实验设计与抽样调查设计，目的是如何有效地收集数据；(2)数据处理要恰当，即对收集到的数据如何进行分析，并作出推断.,本课程只讨论数据处理，也叫统计推断.它包括参数统计、假设检验、方差分析、回归分析等内容.,第一节 概述,第二节 总体和样本,定义1 研究对象的全体称为总体(又叫母体)，而组成总体
2、的每个对象称为个体。,由于总体就是一个随机变量(或向量)X,因此研究总体就是要研究X的概率分布或某些特征量.,在实际问题中，往往不需要研究总体的一切属性，而只要研究总体的某项数量指标，因此，可以把总体的某个数量指标的全体看成是总体，而把每个数值作为个体。若用一个随机变量X来描述总体的某个数量指标，则称随机变量X为总体.若X的分布函数为F(x)，则也称F(x)为总体的分布函数。,定义2 设总体X的分布函数为F(x)，对总体作n次抽样，第i次抽样所得的随机变量为Xi，i=1,2,n,若X1,X2,，Xn相互独立且和X同分布，则称（X1,X2,，Xn）为简单样本，简称为样本。,必须对抽取样本提出一些
3、要求，这些要求主要有两条，第一是代表性，即要求抽取的样本确实能代表总体；第二是独立性，即每次抽取的结果互不影响.,设X是具有分布函数F的随机变量，若X1X2Xn是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称X1,X2,Xn 为来自总体X的样本容量为n的简单随机样本，它们的观察值x1，x2，xn称为样本值。,对于简单随机样本X1，X2，Xn，其联合概率分布可以由总体X的分布完全确定。若总体X的分布函数为F(x)，则样本X1，X2，Xn的联合分布函数为,样本的联合分布,又若X具有概率密度 f(x)，则 X1，X2，Xn的联合概率密度为,则X1，X2，Xn的联合分布律为,若X的分布律为,例1 设总
4、体XB(1,p)，X1，X2，Xn为取自总体X的样本，求样本X1，X2，Xn的联合分布（称为样本分布）。,解:X的分布律为,所以样本X1，X2，Xn的联合分布律为,例2 设总体XN(,2).(X1，X2，Xn)是来自X的样本，求样本的联合密度.,解:,定义1 设X1,X2,Xn为来自总体X的样本,g(X1,X2,Xn)是X1,X2,Xn的函数,若g中不含任何未知参数,则称g(X1,X2,Xn)为统计量.,设x1,x2,xn是相应于样本X1,X2,Xn的样本值,则称g(x1,x2,xn)是g(X1,X2,Xn)的观察值.,第三节 统计量,统计量的概念,1.样本平均值,2.样本方差,3.样本标准差
5、,4.样本k阶(原点)矩,5.样本k阶中心矩,常用的统计量,它反映了总体k 阶矩的信息,它反映了总体k 阶中心矩的信息,6.样本协方差,（样本相关矩）,7.样本相关系数,其中：X，Y为两个总体，(X1,X2,Xn)来自总体X的样本，(Y1,Y2,Yn)来自总体Y的样本.,它们的观察值分别为,例1某班主任老师抽查了5名学生的高考成绩X和大学一年级5科的平均成绩Y结果如下表，求X,Y之间的样本相关系数.,解：,例2设总体X的期望、方差分别为 X1，X2，Xn为来自总体X的样本，其样本均值和样本方差分别记为。求,由于,所以,顺序统计量（次序统计量）,定义2：第k顺序统计X(k)是上述子样（X1,X2
6、,Xn）这样的一个函数，当样本（X1,X2,Xn）取值（x1,x2,xn）时，X(k)取值 x(k).,定义3 设（X1,X2,Xn）为取自总体 X 的样本.称Rn=maxX1,X2,Xn-minX1,X2,Xn 为样本极差，它反映了样本值的波动幅度.,第四节 抽样分布,定理1 设随机变量，则X的密度函数为,1、分布,设X1,X2,Xn相互独立，且XiN(0，1)，i=1，2，n.，称X服从自由度为n的 分布.记作：.,的图像如下,分布具有以下性质:,其中ZN(0,1)。,标准正态分布的分位点也类似定义，标准正态分布的上 分位点记为,它满足,对不同的 分布的上 分位点的值已制成表格，可以查用。
7、,2、t分布,定理2 若随机变量tt(n).则t的密度函数为,t(n)分布的密度函数 关于t=0单峰对称,性质:从图形可以看出t分布和N(0,1)分布相当接近。f(t)是偶函数，f(-t)=f(t).当n30时，t 分布近似于N(0,1)分布，利用函数的性质可以证明.,当n较小时，t(n)分布与N(0,1)分布之间有较大差异。,（1）t(n)分布的上 分位点记为，即 满足，当,t分布的上 分位数可由附表查得.当n45时,有,（2）t(n)分布的下 分位点记为，即 满足,（3）t(n)分布的双侧 分位点记为,即 满足,例1总体XN(0,1),(X1,X2,X3)是来自X的样本，求,的概率分布.,
8、3、F分布,定理3 若随机变量FF(n1，n2)，则F的密度函数为,f(x)的图形如下：,(1)若FF(n1,n2)，则,F分布的性质：,(2)F分布的上 分位点有如下的性质：,的上 分位点记为，即它满足,的下 分位点记为，即它满足,若 表示为上分位点的值，则查表可得：,若FF(n1,n2),则,F分布性质(2)的证明，即要证明：,4、正态总体的抽样分布,定理4,性质2的应用,统计量的分布称为抽样分布,下面研究样本平均和样本方差的分布.注意:下述定理是在总体为正态分布这一假设下得到的.,推论1,推论2,证明,证明,推论3,证明,结束放映,推论1,返回,推论2的证明：,返回,推论3,返回,第五节 经验分布函数和直方图,例1,
