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1、十八章勾股定理复习,a2+b2=c2,形 数,a2+b2=c2,三边a、b、c,t直角边a、b，斜边c,t,互逆命题,勾股定理:直角三角形的两直角边为a,b,斜边为 c,则有,三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角形;较大边c 所对的角是直角.,逆定理:,a2+b2=c2,互逆命题:两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定
2、理.,命题：1、无理数是无限不循环小数的逆命题是。,无限不循环小数是无理数,2、等腰三角形两底角相等的逆命题：。,有两个相等角的三角形是等腰三角形,勾 股 数,满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数,2.在RtABC中，C=90.（1）如果a=3，b=4，则c=；（2）如果a=6，c=10，则b=；（3）如果c=13，b=12，则a=；（4）已知b=3，A=30，求a，c.,答案:（4）a=，c=.,5,8,5,第一组练习:勾股定理的直接应用（一）知两边或一边一角型,1.如图，已知在ABC 中，B=90，若BC4，ABx，AC=8-x，则AB=,AC=.2.在RtABC 中,B=90，b
3、=34,a:c=8:15,则a=,c=.3.（选做题）在RtABC中，C=90，若a=12,c-b=8,求b,c.,答案：3.b=5，c=13.,3,5,16,30,第一组练习:勾股定理的直接应用（二）知一边及另两边关系型,1.对三角形边的分类.已知一个直角三角形的两条边长是3 cm和4 cm，求第三条边的长注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边，所以4 cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论,答案：5 cm或 cm.,第一组练习:勾股定理的直接应用（三）分类讨论的题型,已知：在ABC中，AB15 cm，AC13 cm，高AD12 cm，求SABC答案：第1种情况：如图1，在RtA
4、DB和RtADC中，分别由勾股定理，得BD9，CD5，所以BCBD+CD9+514故SABC84（cm2）第2种情况，如图2，可得：SABC=24（cm2）,2.对三角形高的分类.Zxxk,图1,图2,第一组练习:勾股定理的直接应用（三）分类讨论的题型,【思考】本组题，利用勾股定理解决了哪些类型题目？注意事项是什么？利用勾股定理能求三角形的边长和高等线段的长度.注意没有图形的题目，先画图，再考虑是否需分类讨论.,1.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到大树倒下时能砸到张大
5、爷的房子吗？（）A一定不会B可能会C一定会D以上答案都不对,A,第二组练习:用勾股定理解决简单的实际问题,2.如图，滑杆在机械槽内运动，ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？,答案：解：设AE的长为x 米，依题意得CE=AC-x,AB=DE=2.5,BC=1.5,C=90，AC=2.BD=0.5,AC=2.在RtECD中，CE=1.5.2-x=1.5，x=0.5.即AE=0.5.答：梯子下滑0.5米,第二组练习:用勾股定理解决简单的实际问题,答案：是证明：在RtACB中，BC=3，AB
6、=5，AC=4DC=4-1=3在RtECD中，DC=3，DE=5，CE=4BE=CE-CB=1即梯子底端也滑动了1米,3.（选做题）一架长5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米 如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论,第二组练习:用勾股定理解决简单的实际问题,思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤是什么？Zxxk答案：1.把实际问题转化成数学问题，找出相应的直角三角形.2.在直角三角形中找出直角边，斜边.3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题.,1证明线段相等.已知：如图，AD是ABC的高，AB=10，AD=8
7、，BC=12.求证：ABC是等腰三角形.,答案：证明：AD是ABC的高，ADB=ADC=90.在RtADB中，AB=10，AD=8，BD=6.BC=12,DC=6.在RtADC中，AD=8，AC=10，AB=AC.即ABC是等腰三角形.,分析：利用勾股定理求出线段BD的长，也能求出线段AC的长，最后得出AB=AC，即可.,第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题,2解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.,【思考1】由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？请在图中标出来.,答案：AD=10，DC=8.,第三
8、组练习:会用勾股定理解决较综合的问题,2解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.,第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题,【思考2】在RtDFC中，你可以求出DF的长吗？请在图中标出来.,答案：DF=6.,2解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.,第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题,答案：AF=4.,【思考3】由DF的长，你还可以求出哪条线段长？请在图中标出来.,2解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使
9、得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.,第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题,【思考4】设BE=x，你可以用含有x的式子表示出哪些线段长？请在图中标出来.,答案：EF=x，AE=8-x，CF=10.,2解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.Zxxk,第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题,【思考5】你在哪个直角三角形中，应用勾股定理建立方程？你建立的方程是.,答案：直角三角形AEF,A=90,AE=8-x，.,2解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在
10、AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.,第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题,【思考6】图中共有几个直角三角形？每一个直角三角形的作用是什么？折叠的作用是什么？,答案：四个，两个用来折叠，将线段和角等量转化，一个用来知二求一，最后一个建立方程.,2解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.,第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题,【思考7】请把你的解答过程写下来.,答案：设BE=x，折叠，BCE FCE，BC=FC=10.令BE=FE=x，长方形ABCD，AB=DC=8，AD=BC=10，D=
11、90，DF=6,AF=4，A=90,AE=8-x，解得 x=5.BE的长为5.,3.做高线，构造直角三角形.已知：如图，在ABC中，B=45，C=60，AB=2.求（1）BC 的长；（2）SABC.,分析：由于本题中的ABC不是直角三角形，所以添加BC边上的高这条辅助线，就可以求得BC及SABC.,第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题,3.做高线，构造直角三角形.已知：如图，在ABC中，B=45，C=60，AB=2.求（1）BC 的长；（2）SABC.,答案：过点A作ADBC于D,ADB=ADC=90.在ABD中，ADB=90，B=45，AB=2，AD=BD=.在ABD中，ADC=90，C
12、=60，AD=，CD=,BC=，SABC=,第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题,思考：在不是直角三角形中如何求线段长和面积？,解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三角形，利用勾股定理解决问题.,思考：利用勾股定理解决综合题的基本步骤是什么？,1.画图与标图，根据题目要求添加辅助线，构造直角三角形.2.将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中.3.利用勾股定理列出方程.4.解方程，求线段长，最后完成解题.,1下列线段不能组成直角三角形的是（）Aa=8，b=15，c=17 Ba=9，b=12，c=15 Ca=，b=，c=Da：b：c=2：3：42.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有A
13、B,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的是（）CD,EF,GH AB,EF,GH AB,CD,GH AB,CD,EF,D,B,第四组练习:勾股定理的逆定理的应用,已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且ABBC.求四边形 ABCD的面积.,分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助线，利用勾股定理的逆定理判定ADC的形状为直角三角形，再利用勾股定理解题.,答案：连接AC,ABBC，ABC=90.在ABC中，ABC=90，AB=1，BC=2，AC=.CD=2，AD=3,ACD是直角三角形；四边形的面积为1+.,第五组练习:勾股定理及其逆定理的综合应用,
14、你在本节课的收获是什么？还有什么困惑？,三.课堂小结,1.一个直角三角形的两边长分别为4、5，那么第三条边长为_.2.已知：如图，等边ABC的边长是6 cm.求等边ABC的高;SABC.3.（选做题）如图，AB=AC=20,BC=32，DAC90，求BD的长.,四.布置作业,1.如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处已知BC=12，B=30，则DE的长是().A.6 B.4 C.3 D.22.一个直角三角形的两条边长分别是6 cm和8 cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便估算产
15、量.小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知B=90.,答案：2.（1）周长是24 cm，面积是24 cm2；(2)周长是 cm,面积是 cm2.,B,答案：336平方米.,五.课堂反馈,5.已知三角形的三边长为 9,12,15,则这个三角形的最大角是度;,6.ABC的三边长为 9,40,41,则ABC的面积为;,90,180,17,训练、如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，ADC=90，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。,24平方米,例2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC,10,17,8,17,
16、10,8,规律,分类思想,1.直角三角形中，已知两边长是直角边、斜边不知道时，应分类讨论。,2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一种情况。,例3、已知，如图，在RtABC中，C=90，1=2，CD=1.5,BD=2.5,求AC的长.,提示：作辅助线DEAB，利用平分线的性质和勾股定理。,方程 思想,解：,过D点做DEAB,E,1=2,C=90 DE=CD=1.5在 RtDEB中,根据勾股定理,得BE2=BD2-DE2=2.52-1.52=4 BE=2在RtACD和 RtAED中,CD=DE,AD=AD,RtACD RtAED AC=AE,令AC=x,则AB=x+2在 RtABC中,根据勾股定理,得 AC2+BC2=AB2即:x2+42=(x+2)2 x=3,x,.三角形的三边长为 8,15,17,那么最短边上的高为;,3.若ABC中,AB=5,BC=12,AC=13,则AC边上的高长为;,训练：,方程思想,直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。,规律,
