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1、第二章 单层板的刚度和强度,本章从宏观力学角度讨论单层板的刚度和强度.本章研究正交各向异性,均匀,连续的单层在线弹性,小变形情况下的刚度和强度,2.1 单层板的正轴刚度,在单层板面内外力作用下1,2正应力分量12剪应力分量(1和2表示材料的两个弹性主方向1为纵向,2为横向.1和2轴为正轴,1-2坐标系为正轴坐标系),应力,应变的符号正应力的符号:拉为正,压为负.正应变的符号:伸长为正,缩短为负.,剪应力的符号:正面正向或负面负向为正,其它为负.剪应变符号:与坐标方向一致的直角减小为正,反之为负.应力应变的符号的关系:正的应力对应正的应变,负的应力对应负的应变.图中所标注的应力均是正应力,应变也
2、将是正的.,正面是指截面外法线方向和坐标轴方向一致的面.正向是指应力方向与坐标方向一致的量.,应力-应变关系 单层板是正交各向异性材料,在其主方向上某一点处的正应变1,2只与该点处的正应力12有关,与剪应力12无关.而该点处的剪应变12也仅与剪应力12有关而与正应力无关.,(1)纵向单轴实验 复合材料的纤维方向称为纵向.在线弹性情况试验的应力-应变曲线如图所示.1=1/E12=-11=-11/E1E1纵向弹性模量（反应单层板的 纵向刚度）1-纵向泊松比121=-2/11=由1引起的 纵向应变2=由2引起的 横向应变注：由于纵向伸长引起横向缩短，故置以负号,（2）横向单轴试验垂直于纤维方向称为横
3、向。应力-应变曲线如图所示。,2=2/E21=-22=-22/E21-由引起的纵向应变2-由引起的横向应变E2-横向弹性模量GPa（反应了单层板横向的刚性特性）2-横向泊松比，即212=1/2 2一定时，E2越大，2越小注：由于横向伸长引起纵向缩短，故置以负号,（3）面内剪切实验,图2-4(a)表示单层板在 材料的两个主方向上处于纯剪应力状态。在纯剪应力状态下的应力-应变曲线如图所示。由12引起的剪应变为1212/G12 G12-面内剪切弹性模量，GPa（反应了单层板在其面内的抗剪刚度特性）12一定，G12越大，12越小,在弹性范围内，单层板主方向的复杂应力状态，可以化为单层板弹性主方向单向应
4、力状态相叠加，其相应的应变状态也可以叠加。,上式是单层板在正轴向的应变-应力关系，也称为广义虎克定律。,单层板正轴向的应变-应力关系式可以写成如下的矩阵形式：,式中联系应变-应力关系的各个系数可以简单地表示成：,这些量称为柔量分量（或柔度分量），则上式可以写成,1 S11 S12 S13 1 S11 S12 0 1 2=S21 S22 S23 2=S21 S22 0 2 12 S31 S32 S33 12 0 0 S33 12 缩写为 1=S 1,柔量分量与工程弹性常数的关系也可以写成如下形式 E1=1/S11,E2=1/S22,G12=1/S33 2=-S12/S22，1=-S21/S11,
5、由广义虎克定律可以解出1、2和12，可得到以应变为已知量，应力为未知量的应力-应变关系式,1=ME11+M E1 22 2=M E211+ME2 2 12=G12 12式中，M=1/(1-12),同理，应变项的各系数也可简单地表示成：,Q11=ME1,Q22=ME2,Q33=G12 Q12=ME12,Q21=ME21 Q13=Q31=Q23=Q32=0 这些量称为模量分量（或刚度分量）。同理也可写出以模量分量表示的应力-应变关系式：课本（2-12）,模量分量构成的矩阵与柔量分量构成的矩阵互为逆矩阵。,单层板的正轴刚度为单层材料主方向的刚度，它有3种形式：工程弹性常数由简单试验测定或用细观力学方
6、法预测柔量分量应变-应力关系式的系数，用于从应力计算应变模量分量应力-应变关系式的系数，用于从应变计算应力 这3种形式之间可以互相转换。,由上述讨论可知，用3组材料常数来描述单层板的正轴刚度都有5个量，但这5个量不是独立的，它们之间存在一个关系式，即模量或柔量都存在对称性,Q ij=Q ji(I,j=1,2,3)S ij=S ji(I,j=1,2,3)可见，模量矩阵和柔量矩阵是对称矩阵。模量分量和柔量分量均称为弹性系数。因为 S 12=S 21 所以-2/E2=-1/E1 即 2/E2=1/E1,可以证明，单层的弹性模量、具有重复下标的柔量分量及模量分量均为正值，即 E1,E2,G120 S1
7、1,S22,S330 Q11,Q22,Q330,另外，由模量分量可知，Q11=ME1,而Q11和ME1都是正值，所以M0,即 1-120可得,以上3个彩色式称为正交各向异性材料在平面应力状态下的工程弹性常数的限制条件。,这些限制条件可以用来检验材料的试验数据或正交各向异性材料的模型是否正确。各向同性材料的泊松比的取值范围为-10.5 正交各向异性材料的泊松比取决于材料的两个弹性模量之比 如果材料的两个弹性主方向上刚度相同，即 Q11=Q22,S11=S22,E1=E2 那么这种正交异性单层称为正交对称单层。,例题解析,例2-1（P16）本题已知材料的应力分量，求应变分量。可在表中查出材料的工程弹性常数，求出柔量分量进而得出应变分量。,例2-2 本题已知单层板的弹性模量和泊松比，根据正交各向异性材料在平面应力状态下的工程弹性常数的限制条件判断测试结果的合理性。,
