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1、第十七章 动力学普遍方程和拉格朗日方程,.17-1 动力学普遍方程,将达朗伯原理与虚位移原理相结合,得到动力学普遍方程。,设有n个质点的质点系，约束皆为理想约束，对于第i个质点：,给虚位移,解析形式：,任一瞬时，作用在受理想约束的质点系上的主动力与惯性力，在质点系任意虚位移中的元功之和为零。,即,动力学普遍方程,例17-1：一套滑轮系统悬挂两个重物。设绳和滑轮质量不计。求:重为P1的物体的加速度a1。,解:,自由度1,解题步骤：,1、确定自由度；,2、运动分析，受力分析（包括惯性力）；虚位移分析；,3、列方程；,4、确定虚位移之间的关系，运动关系；,5、求解。,例17-2：图示系统在铅垂平面内
2、运动，各物体的质量均为m，圆盘的半径为R，绳索与圆盘无相对滑动。求滑块的加速度和圆盘C的角加速度。,解：运动分析,应用动力学普遍方程,受力分析,系统的虚位移,由动力学普遍方程得：,系统的虚位移,或令,拉格朗日 Lagrange（1736-1814年）,法国数学家、力学家及天文学家。只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，奠定变分法之理论基础。发表大量有关变分法、概率论、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些著作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。到了1764年，他凭万有引力解释月球运动问题获得法国巴黎科学院奖金。1766年，又因成功地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出
3、的一个复杂的六体问题木星的四个卫星的运动问题而再度获奖。写了继牛顿 后又一重要经典力学著作分析力学(1788年)。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力学体系建立起来，使力学分析化。,15-2 拉格朗日方程,(i=1,2,n),代入动力学普遍方程：,式中 为广义力,广义惯性力,拉格朗日从动力学普遍定理出发，导出了两种形式的质点系微分方程，称第一类拉氏方程和第二类拉氏方程，这里介绍第二类拉氏方程。,设有n个质点组成的具有完整、理想约束的质点系，有k个自由度：,取广义坐标：,(2),(1),对时间t求导,(6),将式（6）对 求偏导数:,(7),再将式（6）对任一广义坐标ql 求偏导数:,则,
4、(5),(8),直接由矢径 对某个广义坐标 求偏导数后，再对时间t求导:,(9),比较式（8）、式（9）,将等式（7）、（10）代入式（5），得:,(10),(8),定义拉氏函数：L=T-V,具有理想和完整约束的质点系第二类拉氏方程,将（11）代入式（4）得：,当主动力均为有势力：,有势力作用下的第二类拉氏方程,L=T-V,第二类拉氏方程,当主动力均为有势力：,动力学普遍方程,Qj:非有势力的广义力,当主动力既有有势力又有非有势力：,例17-3：建立质量为m的质点在重力作用下的动力学方程。,1、系统的自由度为k=3,2、系统的广义坐标：,3、系统的动能,解：,4、系统的广义力,5、代入拉格朗日
5、方程,例17-4：空心轮的质量为m1、半径R，绳子的一端悬挂一质量为m2的物体A，另一端固结在弹簧上。求:物体A的振动周期。,解,法一,自由度1,取广义坐标j,取平衡位置作为零势能点,法二,解：,例17-5：图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统运动微分方程。AB2L,自由度2,广义坐标:,法一,令,令,法二,令,令,弹性势能的零势位取在弹簧原长，重力势能的零势位取在杆垂直时的质心位。,例17-6：物体A重量为P，放光滑表面，被绳索约束，绳的另一端悬挂重量为P的B物体，求：运动的微分方程。,解：,自由度2,令,广义坐标:,例17-7：半径r、质量m的圆盘在地面做纯滚动，
6、其质心悬挂长3r,质量m 的均质杆.求:微摆动方程,解：,自由度2,1,q2,x,广义坐标:,解微分方程组,得：,重力势能的零势能位取在杆垂直时的质心位,例17-8：无重绳索一端悬挂质量m1物块，另一端绕质量m2，作滚动的空心圆柱，放光滑表面。求：运动微分方程,解,自由度2,广义坐标:,例17-9：二个重量P的圆柱，圆柱B绕绳后下滚。求：下滚时运动方程。,代入拉氏方程得：,解,自由度2,广义坐标,、y,例17-10、半径r，质量m1的匀质圆柱体在重力作用下沿三棱体A无滑动滚下，三棱体在光滑水平面上滑动。三棱体质量m2，求三棱体加速度及圆柱质心O相对三棱体加速度。解：自由度数：广义坐标：主动力为
7、有势力，选取零势能位置：系统动能：系统势能：拉格朗日函数：,S0位置,代入拉格朗日方程：解得加速度：,解：,法1、达朗伯原理,动力学综合复习,法2、动力学普遍方程,法3、拉格朗日方程,法4、动能定理微分形式,法5、刚体平面运动微分方程,*4、平面运动刚体求速度的三种方法及求加速度的基点法，画出速度、加速度矢量图；正确地选取动点、动系，分清三 种运动，画出速度、加速度矢量图，求（角）速度和（角）加速度；,所考知识点：,1、平面、空间力系的简化与平衡问题，力在坐标轴上的投影，力对点之矩、力对轴之矩,2、摩擦、桁架的概念和计算,*3、物体系统的平衡问题（平面）,7、各种运动刚体的惯性力系进行简化，并将简化结果标注在图上，求（角）加速度；,*8、虚位移原理（几何法或解析法）分析机构或结构的平衡问题；,*9、拉格朗日方程建立系统的运动微分方程及求解加速度；,5、求动量、平面运动刚体的动量矩，平行移轴定理，动量、动量 矩守恒,10、碰撞的基本概念，恢复系数、撞击中心的计算。,*6、动力学基本定理求解质点系或刚体系的速度、加速度以及系统中的约束力；,
