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1、一、独立增量过程,二、泊松过程的数学模型,三、维纳过程的数学模型,四、小结,第三节泊松过程及维纳过程,在互不重叠的区间上,状态的增量是相,一、独立增量过程,互独立的.,特征:,则称增量具有平稳性.,如果增量具有平稳性,那么增量 X(t)-X(s)的分,布函数只依赖于时间差 t-s,而不依赖于 t 和 s 本身.,当增量具有平稳性时,是齐次的或时齐的.,称相应的独立增量过程,1.问题的提出,考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件：,(1)自电子管阴极发射的电子到达阳极;,(2)意外事故或意外差错的发生;,(3)要求服务的顾客到达服务站.,二、泊松过程的数学模型,2.问题的分析与求解,将电子、顾
2、客等看作时间轴上的质点,达阳极、顾客到达服务站等事件的发生相当于质,点出现.,陆续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机,的质点流.,称为计数过程.,因此研究的对象可以认为是随时间推移,电子到,(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性.,泊松资料,增量的分布律,概率的计算,利用初值条件求解微分方程可得,将此式进行整理后可得,如此重复,一般地可得到,结论,泊松过程的数字特征,均值函数,方差函数,泊松过程的强度等于单位长时间间隔内出现的,质点数目的期望值.,协方差函数,相关函数,3.与泊松过程有关的随机变量,(1)等待时间,设质点(或事件)依次重复出现的时刻,(2)点间间距,求导可得条件概率密度函
3、数为,结论,定理一,定理二,定理的意义,定理刻画出了泊松过程的特征.,要确定一个计数过程是不是泊松过程,并且服从同一个,只要用,统计方法检验点间间距是否独立,指数分布.,1.布朗运动简介,英国植物学家布朗(Brown)在显微镜下,爱因斯坦(Enisten)1905年提出一种理论,三、维纳过程的数学模型,漂浮在平静的液面上的微小粒子,进行着杂乱无章的运动,为微粒的这种运动是由于受到大量随机的、相互,独立的分子碰撞的结果.,观察,发现它们不断地,这种现象称为布朗运动.,认,布朗资料,布朗运动计算机模拟结果,n=100,n=500,n=1000,n=5000,n=10000,n=50000,由于粒子
4、的运动完全是由液体分子的不规则,碰撞而引起的,因此,在不相重叠的时间间隔内,碰撞的次数、大小和方向可假定是相互独立的.,液面处于平衡状态,这时粒子在一时段上位移,的概率分布可以认为只依赖于这时段的长度,而与,观察的起始时刻无关.,2.维纳过程的数学模型,则称此过程为维纳过程.,维纳资料,3.维纳过程的特征,维纳过程增量的分布只与时间差有关,维纳过程是齐次的独立增量过程,其分布完全由均值函数和自协方差函数(或者自,相关函数)所确定.,所以,也是正态过程.,四、小结,特征:,1.独立增量过程,2.泊松过程,数学模型,3.维纳过程,布朗运动,在互不重叠的区间上,状态的增量是相互,独立.,增量的概率分
5、布,数字特征,有关的随机变量,数学模型,数字特征,泊松资料,Born:21 Jun.1781 in Pithiviers,FranceDied:25 Apr.1840 in Sceaux(near Paris),France,Simon Poisson,返回,Ernest William Brown,Born:29 Nov.1866 in Hull,Yorkshire,EnglandDied:23 Jul.1938 in New Haven,Connecticut,USA,布朗资料,返回,Born:26 Nov.1894 in Columbia,Missouri,USADied:18 Mar.1964 in Stockholm,Sweden,Norbert Wiener,维纳资料,返回,
