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1、第2.2节 点估计量的求法,一、矩估计法,二、最大似然估计法,三、用次序统计量估计参数的方法,一、矩估计法,由于估计量是样本的函数,是随机变量,故对不同的样本值,得到的参数值往往不同,因此如何求得参数 的估计量便是问题的关键所在.,常用构造估计量的方法:(三种),1.矩估计法2.最(极)大似然估计法.3.次序统计量估计法,1.矩估计法,基本思想：用样本矩估计总体矩.,理论依据:,或格列汶科定理,它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.,是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的.,大数定律,记总体k阶原点矩为,样本k阶原点矩为,记总体k阶中心矩为,样本k阶中心矩为,用样本矩来估计总体矩,
2、用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称为矩估计法.,矩估计法的具体步骤:,设总体 X 的分布函数为,m个待估参数(未知),为来自总体X的简单随机样本.,矩估计量的观察值称为矩估计值.,注,解,根据矩估计法,例1,解,例2,解方程组得到a,b的矩估计量分别为,解,解方程组得到矩估计量分别为,例3,上例表明:,总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异.,一般地:,例4,设总体X的分布密度为,为来自总体X的样本.求参数,的矩估计量.,分析：,一般地，,只需要求：,的矩估计量.,不含有，,故不能由此得到 的矩估计量.,解(方法1),要求：,的矩估计量,(方法2),要求：,
3、的矩估计量：,注,此例表明：同一参数的矩估计量可不唯一.,例5(p43例2.9),解,建立方程,求解方程可得,矩法的优点：简单易行,并不需要事先 知道总体是什么分布.,缺点：当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息.一般场合下,矩估计量不 具有唯一性.,其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性.,小结：,二、最大似然估计法,最大似然估计法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.,它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的,Gauss,Fisher,然而，这个方法常归功于英国统计学家Fisher.,Fisher在1921年重新发现了这一方法，并首先
4、研究了这种方法的一些性质.,Fisher资料,先看一个简单例子：,一只野兔从前方窜过.,是谁打中的呢？,某位同学与一位猎人一起外出打猎.,如果要你推测，,你会如何想呢?,只听一声枪响，野兔应声倒下.,1 最大似然法的基本思想,你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率.看来这一枪是猎人射中的.,这个例子所作的推断已经体现了最大似然法的基本思想.,设 XB(1,p),p未知.设想我们事先知道 p 只有两种可能:,问:应如何估计p?,p=0.7 或 p=0.3,如今重复试验3次,得结果:0,0,0,由概率论的知识,3次试验中出现“1”的次数,(k=0,1,2,3),引例,(
5、k=0,1,2,3),依题设，“重复试验3次,得结果:0,0,0”,应如何估计p?,p=0.7 还是 p=0.3？,2 似然函数,最大似然估计法,似然函数的定义,3.求最大似然估计的步骤,最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况.此时只需令,对数似然方程组,对数似然方程,解,例6(p46例2.12),这一估计量与矩估计量是相同的.,解,X 的似然函数为,例7(p47例2.13),它们与相应的矩估计量相同.,例8(p47例2.14),设总体X服从柯西分布，其分布密度为,解,由分布可知，其似然函数为,此方程只能求解其数值解，可以以样本中位数为初始值进行迭代。又因为此分布均值不存在，不可用
6、矩估计.,解,例9(p48例2.15),4.最大似然估计的性质,定理2.4,此性质可以推广到总体分布中含有多个未知参数的情况.,例10(p48例2.16),解,定理2.5,证,由因子分解定理可知,注,该定理说明最大似然估计充分利用了样本中包含的参数的信息，因而是一种比较好的估计，通常情况下，最大似然估计不仅是相合估计，而且是渐近正态估计.,三、用次序统计量估计参数的方法,1.用样本中位数与样本极差估计参数,由1.4节可知，由于样本中位数与样本极差计算方便，因而通常情况下，可以用样本中位数估计总体期望，用样本极差估计总体的标准差。,定理2.6,因此,例10(p51例2.18),某维尼纶厂20天内生产正常，,随机的抽样得到20个纤度数值，等分成4组，每组5个数值，如下表：,假设纤度服从正态分布，试估计总体的标准差。,解,计算平均极差,显然两种估计结果极为接近，但极差形式简单.,再 见,费希尔资料,Ronald Aylmer Fisher,Born:17 Feb 1890 in London,EnglandDied:29 July 1962 in Adelaide,Australia,
