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1、状态矢量的线性变换,2011年 4月18日,2,状态向量的线性变换（坐标变换）,5.1 系统状态空间表达式的非唯一性对于一个给定的定常系统，可以选取许多种状态变量，相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统，也就是说系统可以有多种结构形式。所选取的状态矢量之间，实际上是一种矢量的线性变换。,设给定系统为：,我们可以找到任意一个非奇异矩阵T，将原状态向量x作线性变换，得到另一状态矢量z，设变换关系为,则新的状态空间表达式为,例1-1 设系统的状态空间表达式为,新的状态变量为,在如此选定的状态变量的情况下，新的状态空间表达式为,如另外选取变换矩阵,以新的状态向量所描述的状态空间表达式为,这样，便得到
2、了一个对角形的系统矩阵，使状态变量之间的耦合解除，为研究系统的状态解耦问题提供了一条途径。,线性定常系统的系统矩阵的特征值是表征系统的动力学特性的一个重要参数。系统的状态方程将可通过适当的线性非奇异变换转换为由特征值表征的标准形。并且，当特征值为两两相异时，标准形具有对角线标准型的形式。而特征值为非互异时，标准形一般为约当标准形。这种以特征值表征的标准形状态方程，对于分析系统的结构特性是非常直观的。,5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量,系统特征值：系统 的特征值就是系统矩阵A的特征值，也就是特征方程 的根。方阵A有n个特征值,系统的不变量和特征值的不变性：同一系统，经非奇异变换后，得 其
3、特征方程为,可以证明系统经过非奇异变换后，其特征值是不变的，证明如下:,而特征值经非奇异变换是不变的，那么系数 也是不变量。所以称特征多项式的系数是系统的不变量。,特征方程可以写成多项式的形式,由于特征值全由特征多项式的系数 唯一地确定,特征矢量：一个n维矢量pi经过以A为变换阵的变换，得到一个新矢量，即。如果矢量pi经过变换后，方向不变，仅长度变化 倍，即,则称 为A的对应于 的特征矢量，此时有,5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,将状态空间表达式,变换为,根据系统矩阵A,求其特征值，可以直接写出系统的约旦标准型矩阵J,有重根（q个重根）,无重根时,而欲得到控制矩阵 和输出矩阵，
4、则必须求出变换矩阵T。T与A阵的形式和有无重根有关系。,5.3.1 A阵为任意形式（1）特征值无重根时，则变换矩阵T由A的特征矢量构成，,由于特征值 互异，故特征向量 线性无关，从而由它们构成的矩阵 必为非奇异，既矩阵T的逆存在，从而有,如果变换矩阵 两边乘A，有,由特征矢量的定义：,两边左乘，得到,例 将下列状态方程变换为对角线标准形,A的特征方程为：,既,解得,1）对应于 的特征矢量，按定义：,同理，解得对应于 和 的特征矢量为,在构成变换矩阵T为,则变换后各有关矩阵分别为：,（2）A阵的特征值有重根时设A的特征根有q个 的重根，其余（n-q）个根为互异根，则转换矩阵T的计算公式为，其中，
5、是对应于（n-q）个单根的特征矢量，对应于q个重根的各向量求法如下,例 将下列状态方程变换为Jordan标准形,先求A的特征值：,对应于 的特征矢量 由下式求得。,再求对应于 的另一个广义特征矢量,最后确定 的特征矢量,可以得到,于是变换矩阵：,变换后各矩阵分别为：,5.3.2 A阵为友矩阵型,1）A的特征值无重根时，其变换矩阵是一个Vandermonde矩阵,例 已知某系统的动态方程为,试将系统化为对角形。,系统特征方程为,1=1,2=2,3=3,解1)有三个不等的特征根。特征向量满足下列条件：,当1=1时，则,取，得到 对应的特征向量 为,同理可得,解2)用友矩阵特性。,矩阵A的特征值为：三个特征值相异,2）A的特征值有重根时，以有 的m重根为例,3）A的特征值有共轭复根时，以4阶系统其中有一对共轭复根为例，见p41,
