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1、矩 形,矩形的性质,在小学，我们初步认识了长方形，观察图2-41 中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？,图2-41,这些四边形的四个角都是直角.,我发现这些长方形的对边平行且相等，因此，它们是平行四边形.,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形.,平行四边形,矩形,矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分.,可以知道：,矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.,由于矩形是平行四边形，因此,如图2-42，四边形ABCD为矩形，那么对角线AC与DB相等吗？,图2-42,图2-42,如图，四边形ABCD是矩形，,于是有 AB=DC，CBA=BCD=90，BC=C
2、B.,因此 CBABCD.(SAS),从而 AC=BD.,即矩形的对角线相等.,图2-42,矩形的对角线相等.,由此得到矩形的性质：,图2-43,解 ABCD是矩形，,从而,AOB是等边三角形.,AB=OA=2cm.,又AOB=60，,ABC=90，,在RtABC中，,图2-43,解 ABCD是矩形，,从而,在纸上画一个矩形ABCD(如图2-44)，把它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？,图2-44,如图，矩形ABCD的对角线相交于点O.,O,过点O作直线EFBC，且分别与边BC
3、，AD相交于点E，F.,由于，因此OBC是等腰三角形，从而直线EF是线段BC的垂直平分线.,由于ADBC，因此EFAD.同理，直线EF是线段AD的垂直平分线.,因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称图形，直线EF是矩形ABCD的一条对称轴.,类似地，过点O作直线MNAB，且分别与边AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.,矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.,由此得到：,已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条
4、对角线的一个夹角为60，求矩形的各边长.,1.,答：矩形的各边长分别为1cm和,2.如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质 说明：直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于 斜边的一半.,例,如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AOB=60，AB=4cm，则AC的长为 cm.,8,矩 形,矩形的判定,矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？,如图2-46，四边形ABCD 的四个角都是直角.由于“同旁内角互补，两直线平行”，因此ABDC，ADBC，从而四边形ABCD 是平行四边形.所以ABCD 是矩形.由此得到四个角是直角的
5、四边形是矩形.,图2-46,三个角是直角的四边形是矩形.,三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也是直角，由此得到：,从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？这样的矩形有多少个？,你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？,如图2-47，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？,我们来进行证明.,在ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，,因此 ABCDCB.(SSS),从而 ABC=DCB.,又ABC+DCB=180，,于是 A
6、BC=90.,所以 ABCD是矩形.,图2-47,对角线相等的平行四边形是矩形.,由此得到矩形的判定定理：,对角线相等的四边形是矩形吗？,图2-48,举例,（2）OBC是等腰三角形，其中OB=OC，,AC与DB相等且互相平分.,OBC是等腰三角形.,AC=2OC=2OB=BD.,ABCD是矩形.,图2-48,例3 如图：在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O,EFAC,O 是垂足，EF分别交AB、CD于点E、F，且BE=OE=0.5AE 求证:ABCD是矩形,1.如图，在四边形ABCD中，A=B=C=D，求证：四边形ABCD是矩形.,证明：因为四边形中，A=B=C=D，四边形的内角和为360
7、，所以A=B=C=D=90，所以四边形ABCD是矩形.(三个角是直角的四边形是矩形.),2.如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AOB=60，AB=2，AC=4，求ABCD的面积.,解：OA=2，AB=2，,OAB是等腰三角形.,OAB是等边三角形.,又AOB=60，,OA=OB=2，AC=BD=4.,ABCD是矩形.(对角线相等的平行四边形是矩形.),作OEAD于点E.,E,在Rt OAE中，AO=2，OE=1，,例,在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是.,AC=BD 或 ABC，CDA，BAD，BCD之中有任一个角为直角,
