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1、第三节 奇异值分解,矩阵的奇异值分解在矩阵特征值问题，最小二乘法问题及广义逆矩阵问题等有重要应用,矩阵的等价标准型,定理：设,则存在,使得,右式称为矩阵A的等价标准型,酉等价：设,若存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵,V，使得,则称A与B酉等价。,矩阵的奇异值分解就是矩阵在酉等价下的一种标准型。,引理1,证明 设是AHA的特征值，x是相应的特征向量，则 AHAx=x由于AHA为Hermite 矩阵，故是实数。又,同理可证AAH的特征值也是非负实数。,证明 设x是方程组AHAx=0的非0解，,引理2,则由,得,对于Hermite 矩阵AHA，AAH，设 AHA，AAH有r个非0特征值，分别记为,即：A
2、HA与AAH非0特征值相同，并且非零特征值的个数为,奇异值的定义,说明：A的正奇异值个数恰等于，并且A与AH有相同的奇异值。,定理 酉等价的矩阵有相同的奇异值,由,称为矩阵A的酉等价标准形.,奇异值分解定理,证明,由于AHA是Hermite矩阵，存在n阶酉矩阵V,使,其中,将矩阵V分块，,则有：,比较等式两端得：,从而有,设,即U1的r个列是两两正交的单位向量，则,于是,推论 在矩阵A的奇异值分解A=UDVH中，U的列向量为AAH的特征向量，V的列向量为AHA的特征向量.,说明：此定理仅是奇异值分解的必要条件，但不是充分条件。,1求矩阵AHA的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵V;,5 构造奇异值分解,4扩充U1为酉矩阵U=(U1,U2),3令,2记,奇异值分解方法1利用矩阵AHA求解,例1、求矩阵,的奇异值分解,可求得 的特征值为,对应的特征向量依次为,于是可得：,令,其中,计算：,构造：,则,的奇异值分解为,奇异值分解方法2-利用矩阵AAH求解,1先求矩阵AAH的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵U;,4扩充V1为酉矩阵V=(V1,V2)5 构造奇异值分解,2记,3令,例 求矩阵A的奇异值分解,利用矩阵AAH求解,
