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1、运输规划(Transportation Problem),1.运输规划问题的数学模型2.表上作业法3.运输问题的应用,本章主要内容：,1.运输规划问题的数学模型,例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1,B2,B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？,解：产销平衡问题：总产量=总销量500 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：,Min C=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 s.t.x11+x12+x13=200 x21+x22+x23=300 x11+x
2、21=150 x12+x22=150 x13+x23=200 xij 0(i=1、2；j=1、2、3）,运输问题的一般形式：产销平衡,A1、A2、Am 表示某物资的m个产地；B1、B2、Bn 表示某物质的n个销地；ai 表示产地Ai的产量；bj 表示销地Bj 的销量；cij 表示把物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价。设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：,变化：1）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等；2）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入约束条件（等式或不等式约束)；3）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销地（产大于
3、销时）。,定理:设有m个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变量数为m+n-1。,2.表上作业法,表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯形法。,例3.2 某运输资料如下表所示：,问：应如何调运可使总运输费用最小？,解：第1步 求初始方案，见下表所示。,最小元素法 基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调运），然后次小，直到最后供完为止。,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,3,4,1,6,3,3,总的运输费(31)+(64)+(43)+(12)+(310)+(35)=86元,第2步 最优解的判别（检验数的求法）,求出一组基可行解后，判断是否为最优解，
4、仍然是用检验数来判断，记xij的检验数为ij由第一章知，求最小值的运输问题的最优判别准则是：,所有非基变量的检验数都大于等于，则运输方案最优,求检验数的方法有三种：闭回路法 位势法（）运价矩阵法,运价矩阵法,当存在非基变量的检验数kl 0 且kl=minij时，令Xkl 进基。从表中知可选x24进基。,第3步 确定换入基的变量,第4步 确定换出基的变量,以进基变量xik为起点的闭回路中，所有偶顶点中的最小运量作为调整量，对应的基变量为出基变量。,闭回路的概念,为一个闭回路，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变量的连线为闭回路的边。如下表,例下表中闭回路的变量集合是x11,x12,x42,x4
5、3,x23,x25,x35,x31共有8个顶点，这8个顶点间用水平或垂直线段连接起来，组成一条封闭的回路。,一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须转90度与另一顶点连接，上表中的变量x 32及x33不是闭回路的顶点，只是连线的交点。,闭回路,例如变量组 不能构成一条闭回路，但A中包含有闭回路,变量组 变量数是奇数，显然不是闭回路，也不含有闭回路；,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,4,3,6,3,1,3,(),(),(),(),调整步骤为：在进基变量的闭回路中所有奇顶点对应的变量加上调整量，所有偶顶点对应的变量减去调整量，其余变量不变，得到一组新的基可行解。,1,2
6、,5,过x24的闭回路为：x24，x14,x13,x23,因为所有非基变量的检验数均非负，故当前调运方案即为最优方案，如表此时最小总运费：Z=(13)(46)(35)(210)(18)(35)85元,表上作业法的计算步骤：,表上作业法计算中的问题：,（1）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为负，在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使目标函数值得到改善，但通常取ij0中最小者对应的变量为换入变量。（2）无穷多最优解 产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的ij0，则该问题有无穷多最优解。,退化解：表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时在分配运量时则需要同时划去一行
7、和一列，这时需要补一个0，以保证有(m+n-1)个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的任意空格处加一个0即可。利用进基变量的闭回路对解进行调整时，所有偶顶点中的最小运量（超过2个最小值）作为调整量，选择任意一个最小运量对应的基变量作为出基变量，并打上“”以示作为非基变量，另一个变量仍为基变量且它的值为0。,3.运输问题的应用,求极大值问题 目标函数求利润最大或营业额最大等问题。,求解方法：将极大化问题转化为极小化问题。设极大化问题的运价表为C，用一个较大的数M（Mmaxcij）去减每一个cij得到矩阵C，其中C=（Mcij）0,将C作为极小化问题的运价表，用表上用业法求出最优解。,例3.3
8、 下列矩阵C是Ai（I=1，2，3）到Bj的吨公里利润,运输部门如何安排运输方案使总利润最大.,得到新的最小化运输问题，用表上作业法求解即可。,产销不平衡的运输问题 当总产量与总销量不相等时,称为不平衡运输问题.这类运输问题在实际中常常碰到,它的求解方法是将不平衡问题化为平衡问题再按平衡问题求解。,当产大于销时，即：,数学模型为：,由于总产量大于总销量，必有部分产地的产量不能全部运送完，必须就地库存，即每个产地设一个仓库，假设该仓库为一个虚拟销地Bn+1，bn+1作为一个虚设销地Bn+1的销量(即库存量)。各产地Ai到Bn+1的运价为零，即Ci,n+1=0,（i=1，m）。则平衡问题的数学模型
9、为：,具体求解时,只在运价表右端增加一列Bn+1，运价为0,销量为bn+1即可,当销大于产时，即：,数学模型为：,由于总销量大于总产量,故一定有些需求地不完全满足,这时虚设一个产地Am+1，运价为0，产量为：,销大于产化为平衡问题的数学模型为：,具体计算时，在运价表的下方增加一行Am+1，运价为0。产量为am+1即可。,例3.4 求下列表中极小化运输问题的最优解。,因为有：,所以是一个产大于销的运输问题。表中A2不可达B1，用一个很大的正数M表示运价C21。虚设一个销量为b5=180-160=20，Ci5=0，i=1,2,3,4，表的右边增添一列，得到新的运价表。,下表为计算结果。可看出：产地
10、A4还有20个单位没有运出。,3.生产与储存问题,例3.5 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。,解：设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那么应满足：交货：x11=10 x12+x22=15 x13+x23+x33=25 x14+x24+x34+x44=20生产：x11+x12+x13+x14 25 x22+x23+x24 35
11、x33+x34 30 x44 10,把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第 j 季度交货的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；设cij是第i季度生产的第j季度交货的每台柴油机的实际成本，应该等于该季度单位成本加上储存、维护等费用。可构造下列产销平衡问题：,由于产大于销，加上一个虚拟的销地D，化为平衡问题，即可应用表上作业法求解。,该问题的数学模型：Min f=10.8 x11+10.95 x12+11.1 x13+11.25 x14+11.1 x22+11.25 x23+11.4 x24+11.0 x33+11.15 x34+11.3 x44,最优生产决策如下表，最小
12、费用z773万元。,4.转运问题例3.6 某公司有A1、A2、A3三个分厂生产某种物资，分别供应B1、B2、B3、B4四个地区的销售公司销售。假设质量相同，有关数据如下表：试求总费用为最少的调运方案。假设：1.每个分厂的物资不一定直接发运到销地，可以从其中几个产地集中一起运；2.运往各销地的物资可以先运给其中几个销地，再转运给其他销地；3.除产销地之外，还有几个中转站，在产地之间、销地之间或在产地与销地之间转运。,运价如下表：解：把此转运问题转化为一般运输问题：1、把所有产地、销地、转运站都同时看作产地和销地；2、运输表中不可能方案的运费取作M，自身对自身的运费为0；3、Ai：产量为 20+原产量，销量为 20；Ti：产量、销量均为 20；Bi：产量为 20，销量为 20+原销量，其中20为各点可能变化的最大流量；4、对于最优方案，其中 xi i 为自身对自身的运量，实际上不进行运作。,扩大的运输问题产销平衡与运价表：,
