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1、10.2 非线性概率模型一、逻辑模型在线性概率模型中，对不满足条件 0 1的处理方法是：当 0时，取=0当 1时，取=1相应的图形，如图所示。,0,y,x,图10.2.1 改进后的线性概率模型中的样本回归直线,我们可用与图相类似的非线性函数逻辑函数，来逼近图中的函数曲线：,(10.2.1),其中，pi为采取某选择的概率，xi为自变量。这个函数具有我们希望的良好性质，它的图形是一条S型曲线。,当 时，当 时,(10.2.2),当,根据(10.2.1)和(10.2.2)可以画出逻辑函数的图形，如图所示,0,zi,pi,图10.2.2 逻辑函数曲线,由(10.2.1)可得,(10.2.3),对(10
2、.2.3)式两边取对数：,(10.2.4),0.5,我们可以把 整体看作一个变量，于是便有线性回归模型,(10.2.5),(10.2.5)式称为逻辑模型。,二、逻辑模型的估计方法(一)因变量观测值可以分组的情形我们仍然以分析居民家庭购买某些耐用商品的状况，比如说购买汽车的状况为例。假设样本容量足够大，以至使每一个自变量观测值都有56个以上的因变量观察值与之对应。,在这种情况下，所有因变量观测值可以按不同自变量观测值分成许多组，例如，共可分为G组。假设第i组共有ni个家庭收入为xi，其中有ri个家庭已购买汽车，其余尚未购买。于是收入为xi的家庭，购买汽车的概率为,（）,这里是概率真值pi的估计值
3、，显然，每组内家庭个数不能太少，家庭个数越多，概率估计值越接近真值。因为(10.2.5)式可近似表示为：,（）,于是，(10.2.5)式可以表示为：,（）,对于模型(10.2.5)而言，就是因变量，通过上述方法我们实际上求出了这个因变量的所有观察值，因此可用估计普通线性模型的方法求出0和1的估计值。,但必须指出，这一方法能否正确得出参数估计值的关键是每一个自变量xi所对应的因变量观察值不能少于5或6个。如果样本容量不太大或自变量数目很多，上述条件不能满足，则此法不适用。此种方法，显然可以推广到多个自变量的情况。,(二)因变量观测值不能重复观测的情况如果样本容量不够大，以至每个自变量观测值只对应
4、一个或很少几个因变量观测值，分组就不可能实现了。这时可采用极大似然法估计模型（10.2.5)。我们仍以消费者是否购买汽车为例进行讨论。,1.建立似然函数对第i个消费者进行观测所得到的结果只有两种情况：已经购买汽车，即，或者尚未购买汽车，即。设yi=1的概率为pi，则yi=0的概率为(1-pi)，于是变量y服从两点分布，其概率分布列为：,（）,所谓似然函数，就是样本中全部观测值的联合分布（此时参数是未知的）：,（）,由(10.2.1)知，pi可以表示为,所以(10.2.10)可以表示为：,（）,2.极大似然估计极大似然估计的基本思想是：我们观测到的样本应该是出现概率最大的样本。本问题中，既然来自
5、总体的样本具有概率分布(10.2.11)，我们应该要求参数0和1的取值使(10.2.11)达到极大值，满足上述极值条件求出的0和1的估计量，称为极大似然估计量。对(10.2.11)式两边取对数：,（）,(10.2.12)分别对参数0和1求导数，可得极值条件的表达式：,（）,其中,(10.2.14),由(10.2.14)有关系：,把(10.2.15)代入(10.2.13)得到化简了的正规方程：,(10.2.16),解正规方程，便可参数的估计值。,若以 和 代表 估计量，则概率模型的极大似然估计式为：,式中 代表具有特征x=xi的消费者购买汽车的概率的估计值。以上方法可以推广到多元模型的情况，此时
6、，,（）,3.案例分析利用Eviews软件可以很方便的估计逻辑模型的参数。例我们考察个体家庭月收入与购买耐用消费品（汽车）的关系，我们用y表示虚拟变量，取值1表示已购买耐用消费品，取值0表示没有购买耐用消费品，用x表示家庭月收入，我们收集了36个样本值如表所示（见课本251页）,我们利用表的数据，建立逻辑模型。点击Quick/Estimate Equation出现对话框，在Equation Specification 对话框中，输入公式命令：Y=1/(1+EXP(-C(2)-C(3)*X)这里EXP（）是EViews取指数函数形式ex的标记。点击“OK”便得到计算结果，如图,图,最后逻辑模型的估计式：,
