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1、第二节 直线和平面平行、平面和 平面平行,1.直线与平面的三种位置关系,有无数个公共点,有且只有一个公共点,没有公共点,a,aA,a,2.直线与平面平行的判定与性质(1)判定方法用定义,3平面与平面的两种位置关系,没有,有且只有一条,4.平面与平面平行的判定与性质(1)定义：，就说这两个平面互相平行(2)判定方法用定义,如果两个平面没有公共点,1对线面平行，面面平行的认识一般按照“定义判断定理性质定理应用”的顺序其中定义中的条件和结论是相互充要的，它既可以作为判定线面平行和面面平行的方法，又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用2在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化
2、，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是受题目的具体条件而定，决不可过于“模式”化,3解决有关平行问题时，也可以注意使用以下结论；(1)经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行；(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面；(3)一条直线垂直于两个平面平行中的一个平面，必垂直于另一个平面；(4)夹在两个平行平面间的平行线段相等；(5)两平行平面之间的距离处处相等4无论是解题还是证明，一定要注意对文字语言、图形语言和符号语言进行相互转化和相互翻译，使三者之间相辅相成，相得益彰,例1已知m，m，且l，求证：
3、ml.证明证法一：如图(1)，过直线m与平面内一点作平面使b，,根据已知条件m和直线与平面平行的性质定理知mb.同理在平面内存在直线c使mc，cb.又c，c.又c，l，cl.因此ml.证法二：如图(2)，取基向量a、b、c作为基底，在直线m上取向量m0，由m知mxbyc，由m知ma c.由空间向量基本定理知0，x0，y.m c，即mc.因此ml.,规律总结证法一主要体现了直线与平面平行的性质定理和判定定理的综合使用，实现了线线平行与线面平行的相互转化；而利用向量法证明线线平行或线面平行的关键在于基向量的选取.,备选例题1如图，在空间四边形ABCD中，截面EFGH为平行四边形，试证：BD平面EF
4、GH，AC平面EFGH.,证明：证法一：截面EFGH为平行四边形，EHFG.根据直线与平面平行的判定定理知：EH平面BCD.又EH平面ABD，平面ABD平面CBDBD，根据直线与平面平行的性质定理知BDEH.因此，BD平面EFGH.同理AC平面EFGH.,例2如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AEFC1B1G1，H是B1C1的中点(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH平面BED1F.分析(1)只需证明BED1F或BFD1E即可证明B，E，D1，F共面；(2)利用面面平行的判定条件证明,证明(1)连结FG
5、.AEB1G1，BGA1E2，BG綊A1E，A1G綊BE.又同理，C1F綊B1G，四边形C1FGB1是平行四边形，FG綊C1B1綊D1A1，四边形A1GFD1是平行四边形A1G綊D1F，D1F綊EB，故E、B、F、D1四点共面,规律总结证明两个平面平行的常用方法有：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理(只需一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行)；(3)如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，则两平面平行；(4)垂直于同一条直线的两个平面平行；(5)平行于同一个平面的两个平面平行；(6)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化,备选例题2如
6、图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC上一点，且A1B平面AC1D，D1是B1C1的中点求证：平面A1BD1与平面AC1D平行,证明：如图所示，连结A1C交AC1于E，四边形A1ACC1是平行四边形，E是A1C的中点，连结ED.A1B平面AC1D，平面A1BC平面AC1DED，A1BED.E是A1C的中点，D是BC的中点D1是B1C1的中点，又BD1C1D，A1D1AD，又A1D1BD1D1，平面A1BD1平面AC1D.,例3如图所示，平面平面，点A，C，点B，D，点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEBCFFD.(1)求证：EF；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC4，BD6，
7、且AC，BD所成的角为60，求EF的长,分析(1)利用线面平行的判定定理只需在平面中找出一条与EF平行的直线即可(2)将EF转化到与已知条件相关的三角形中借助余弦定理求解解(1)证法一：当AB，CD在同一平面内时，由，平面ABDCAC，平面ABDCBD，ACBD.AEEBCFFD，EFBD.又EF，BD，EF.,证法二：当AB与CD异面时，设平面ACDDH，且DHAC.，平面ACDHAC，ACDH，四边形ACDH是平行四边形在AH上取一点G，使AGGHCFFD.又AEEBCFFD，GFHD，EGBH.又EGGFG，平面EFG平面.EF平面EFG，EF.综上，EF.,(2)如图，连结AD，取AD
8、的中点M，连结ME，MF.E，F分别为AB，CD的中点，MEBD，MFAC，且ME BD3，MF AC2，EMF为AC与BD所成的角(或其补角)，EMF60或120，,规律总结面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合应用，解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题，注意三种平行关系之间的相互转化.,备选例题3平面平面，ABC在平面内，AA、BB、CC三线交于一点P，且P在平面和平面之间，若BC5 cm，AC12 cm，AB13 cm，PAPA32，求ABC的面积,例4已知：如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC、A1
9、C1上的点,规律总结探索平面问题，即找平行的充要条件，也就是应用平行的性质.,备选例题4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN平面AA1B1B.,例如图，空间四边形ABCD中，BDAC，平行于对角线AC、BD的平面分别交AB、BC、CD、DA于点E、F、G、H，且ACa，BDb，求四边形EFGH面积的最大值,解题思路由BD平面EFGH，且BD平面ABD，平面ABD平面EFGHEH，知EHBD，同理，FGBD.故EHFG.同理，EFHG.故四边形EFGH是平行四边形由BDAC，知EFEH，从而HEF90.故平行四边形EFGH是矩形,错因分析“作、证、求、答”是解决立体几何计算问题的“四步曲”，近几年高考立体几何失分的惨痛教训是答题不完整作为学生以后应在规范解题过程上下功夫.,
