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1、1,9.3.1 对面积的曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算,2,、对面积的曲面积分,1实例 曲面型物件的质量,一、对面积的曲面积分的概念与性质,曲面型物件占有O-xyz空间中的曲面(光滑或分片光滑),且有连续的面密度为(x,y,z),求曲面型物件的质量。,其中是n个小曲面块的直径的最大值。,3,“乘积和式极限”,都存在,积的曲面积分,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面,2、对面积的曲面积分的定义,定义,设曲面是光滑的有限曲面，,函数f(x,y,z),在上有界。,其中f(x,y,z)叫做被积
2、函数，叫做积分曲面。,4,3、几点说明,则对面积的曲面积分存在.,在光滑曲面 上连续,(1)积分的存在性:,(2)曲面型物件的质量为,曲面面积为,5,具有对弧长曲线积分同样的性质。,4、对面积的曲面积分的性质,（1）关于被积函数的线性性质,（2）关于积分曲面的可加性,则有,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,6,（3）关于被积函数的不等式性质,（4）估值定理,（5）积分中值定理,5、对称性的应用,7,定理:设有光滑曲面,f(x,y,z)在上连续,存在,且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,计算方法可概括为“一代、二换、三投影”,8,（1）计算方法可概括为“一代、二换、三投影”,
3、“二换”将dS换成相应的曲面面积元素的表达式：,如：z=z(x,y)，则,“三投影”认清在xoy平面上的投影区域Dxy,（2）如：x=x(y,z)，此时投影区域Dyz；如：y=y(x,z)，此时投影区域为Dzx。,“一代”将z=z(x,y)代入被积函数f(x,y,z)，得f x,y,z(x,y)；,说明,9,例1 计算曲面积分，其中是球面 x2+y2+z2=a2被平面 z=h(0ha)截出的顶部（如图）。,解：的方程为,Dxy x2+y2a2h2,根据公式，有,10,利用极坐标，得,11,例2 计算曲面积分,是介于z=0及z=H(H0)之间的柱面x2+y2=R2,解法一：在上有x2+y2=R2
4、，所以,又关于平面x=0对称，,所以,12,其中,(RyR，0zH),于是,13,解法二：用垂直于z轴的平面去截 dS=2Rdz,14,解：Dxy：x2+y2 2ax，,因为关于xoz面对称，xy+yz是y的奇函数，所以,15,16,例4.求半径为R 的均匀半球壳 的质心.,解:设 的方程为,利用对称性可知质心的坐标,17,曲面型物件占有O-xyz空间中的曲面(光滑或分片光滑),且有连续的面密度为(x,y,z),注:对面积的曲面积分的应用,质心,18,转动惯量,19,小结,本节主要学习了对面积的曲面积分的概念,以及对面积的曲面积分的计算方法。,本节要求理解对面积的曲面积分的概念,了解曲面积分的性质,熟练掌握对面积的曲面积分的计算。,下节课的内容:对坐标的曲面积分,
