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1、2023/10/8,同济高等数学课件,二、几个初等函数的麦克劳林公式,第三节,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用,应用,目的用多项式近似表示函数.,理论分析,近似计算,泰勒公式,第三章,2023/10/8,同济高等数学课件,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式:,需要解决的问题,如何提高精度?,如何估计误差?,x 的一次多项式,2023/10/8,同济高等数学课件,1.求 n 次近似多项式,要求:,故,令,则,2023/10/8,同济高等数学课件,2.余项估计,令,(称为余项),则有,2023/10/8,同济高等数学课件,2023/10/8,同济高等数学课件,公式
2、 称为 的 n 阶泰勒公式.,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项.,泰勒(Taylor)中值定理:,阶的导数,时,有,其中,则当,泰勒,2023/10/8,同济高等数学课件,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.,在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为,注意到,*可以证明:,式成立,2023/10/8,同济高等数学课件,特例:,(1)当 n=0 时,泰勒公式变为,(2)当 n=1 时,泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见,误差,2023/10/8,同济高等数学课件,称为麦克劳林(Maclaurin)公式.,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,
3、麦克劳林,由此得近似公式,2023/10/8,同济高等数学课件,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,2023/10/8,同济高等数学课件,其中,麦克劳林公式,2023/10/8,同济高等数学课件,麦克劳林公式,类似可得,其中,2023/10/8,同济高等数学课件,其中,麦克劳林公式,2023/10/8,同济高等数学课件,已知,其中,因此可得,麦克劳林公式,2023/10/8,同济高等数学课件,三、泰勒公式的应用,1.在近似计算中的应用,误差,M 为,在包含 0,x 的某区间上的上界.,需解问题的类型:,1)已知 x 和误差限,要求确定项数 n;,2)已知项数 n 和 x,计算近
4、似值并估计误差;,3)已知项数 n 和误差限,确定公式中 x 的适用范围.,2023/10/8,同济高等数学课件,例1.计算无理数 e 的近似值,使误差不超过,解:已知,令 x=1,得,由于,欲使,由计算可知当 n=9 时上式成立,因此,的麦克劳林公式为,2023/10/8,同济高等数学课件,说明:注意舍入误差对计算结果的影响.,本例,若每项四舍五入到小数点后 6 位,则,各项舍入误差之和不超过,总误差限为,这时得到的近似值不能保证误差不超过,因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.,2023/10/8,同济高等数学课件,例2.用近似公式,计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005,试
5、确定 x 的适用范围.,解:近似公式的误差,令,解得,即当,时,由给定的近似公式计算的结果,能准确到 0.005.,2023/10/8,同济高等数学课件,2.利用泰勒公式求极限,例3.求,解:,由于,用洛必达法则不方便!,2023/10/8,同济高等数学课件,3.利用泰勒公式证明不等式,例4.证明,证:,2023/10/8,同济高等数学课件,内容小结,1.泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式.,2023/10/8,同济高等数学课件,2.常用函数的麦克劳林公式(P142 P144),3.泰勒公式的应用,(1)近似计算,(3)其他应用,求极限,证明不等式 等.,(2)利用多项式逼近函数,例如,
6、泰勒多项式逼近,泰勒多项式逼近,2023/10/8,同济高等数学课件,思考与练习,计算,解:,原式,第四节,作业 P145 1;4;5;7;8;*10(1),(2),泰勒(1685 1731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),线性透视论(1719),他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式.,他是有限差分理论的奠基人.,麦克劳林(1698 1746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机几何学(1720),代数论(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的,麦克劳林级数.,2023/10/8,同济高等数学课件,证:由题设对,备用题 1.,有,且,点,2023/10/8,同济高等数学课件,下式减上式,得,令,2023/10/8,同济高等数学课件,两边同乘 n!,=整数+,假设 e 为有理数,(p,q 为正整数),则当 时,等式左边为整数;,矛盾!,2.证明 e 为无理数.,证:,故 e 为无理数.,等式右边不可能为整数.,
