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1、第8章 MATLAB数值积分与微分8.1 数值积分8.2 数值微分,8.1 数值积分8.1.1 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间a,b分成n个子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。,8.1.2 数值积分的实现方法1变步长辛普生法(自适应simpson积分法)基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：I,n=quad(fname,a,b,tol
2、,trace)其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=10e-6。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。,例1 求定积分(1)建立被积函数文件fesin.m。function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)调用数值积分函数quad求定积分。S,n=quad(fesin,0,3*pi)S=0.9008n=77,例题2求定积分,quad(inline(exp(-x.2),-1,1,0.5e
3、-4)或者quad(x)exp(-x.2),-1,1,0.5e-4),2牛顿柯特斯法基于牛顿柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为：I,n=quad8(fname,a,b,tol,trace)其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。,例3 求定积分。(1)被积函数文件fx.m。function f=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x);(2)调用函数quad8求定积分。I=quad
4、8(fx,0,pi)I=2.4674,例4 分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。调用函数quad求定积分：format long;fx=inline(exp(-x);I,n=quad(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254766n=65,调用函数quad8求定积分：format long;fx=inline(exp(-x);I,n=quad8(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254754n=33,3非函数表达式梯形积分（被积函数由一个表格定义）在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定
5、积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。trapz(X,Y)采用梯形法计算Y在X点上的积分。例5 用trapz函数计算定积分。命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X);%生成函数关系数据向量 trapz(X,Y)例6 x=-1:0.1:1;y=exp(-x.2);trapz(x,y),4.自适应Lobatto方法 quadl命令适用于光滑函数，quadl调用被积函数的次数明显少于quad命令，而且精度比quad函数更高，其调用格式与quad一样I,n=quad(fname,a,b,tol,trace),5.quadgk 对振荡的被积函数最有效，
6、支持无限区间积分（高版本版才有此命令）,8.1.3 重积分的数值求解使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)该函数求f(x,y)在a,bc,d区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。,例 计算二重积分,dblquad(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),-2,2,-1,1),6.quad2d平面区域二重积分，可以做变上下限积分（高版本版才有此命令）,7.triplequad用于计算长方体区域上的三重积分,例 计算,fun=(x,y,z)4*x.*z.*exp(-x.2-y.*z.2)S=triplequad(fun,0,pi,0,pi,0,1),8.int符号函数积分,
