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1、计算机控制系统数学模型,A1、Z变换A2、脉冲传递函数A3、闭环系统的脉冲传递函数A4、采样系统的动态分析A5、采样系统的稳定性A6、采样控制系统的稳态分析,A1 z变换,1 z变换 2 z变换的性质 3 z反变换 4 用z变换解线性差分方程,1 z变换,Z变换是用来分析和综合离散时间系统的一种数学工具。它在离散系统中的作用与拉氏变换在连续系统中的作用是类似的。对序列f(kT)，可以定义它的z变换为,在复平面上的一个适当的区域内，可以保证以上级数是收敛的。这样，F(z)与f(kT)就构成了一变换对。,采样函数e*（t）实质就是一个序列。其拉氏变换为：而 为s的超越函数，不是有理函数。故令，则,
2、在z变换定义中，T是采样周期，若取T=1，则z变换还具有以下简单形式,可以用很多方法得到采样函数或序列的z变换，其中最常用的是直接根据定义求z变换的级数求和法。下面介绍几类典型函数的z变换。,单位阶跃函数f(t)=1(t)的采样函数故有,例1 单位阶跃函数1(t)的z变换。,单位斜坡函数f(t)=t所对应的序列为 f(kT)=kTk=0,1,2,因此，有,例2 单位斜坡函数的z变换。,例3 指数函数的z变换,指数函数f(t)=e-at对应的序列 f(kT)=e-akTk=0,1,2,所以,2 z变换的性质,和拉氏变换一样，z变换也有不少重要性质，利用这些性质可以演算或直接分析离散时间系统。一、
3、线性性质对任何常数 和，若 证明：,二、延迟定理（右移定理）,若 证明：,延迟定理应用前提是f(t)必须满足:f(t)=0 t0 若上式不满足，则必须考虑这些不为零的值，对延迟定理的结论进行修正,三、超前定理（左移定理）,若,特别地，若所有的初始条件,因此，z也可以看成是超前一个采样周期的超前因子。,z变换超前定理，可以用来解描述离散系统的差分方程,证明：令m=k+n，则,四、初值定理,若证明：由z变换的定义有,五、终值定理,若 的单位圆上面或外面没有极点，则,利用终值定理可以很方便地由F(z)来确定f(kT)当k时的终值。它是离散系统稳态分析的一个重要工具。,例4 已知因为的极点为0.2，它
4、位于单位圆内，所以有,六、复位移定理,若证明：,例5 求,由例2，有,由复位移定理,七、偏微分定理,若，其中a是一个独立变量或常数，则有证明例6 求 的z变换。查表知 因为由偏微分定理，得,3 z反变换,Z变换在离散系统的分析与综合中所起的作用与拉氏变换在连续系统中所起的作用几乎完全一致。z反变换即如何由象函数F(z)求得序列f(kt)或采样函数f*(t)。,不同的f(t)可以有相同的采样函数f*(t)，从而可以有相同的z变换F(z)。因此，F(z)不可能与f(t)有一一对应关系。,由F(z)求得f(kT)或f*(t)的z反变换主要三种方法，即长除法、部分分式展开法和留数计算法。,一、长除法,
5、采用长除法，可以将F(z)展开成z-1的无穷幂级数的形式。对照z变换的意义，即可立即得到序列f(kT)。,例7 设F(z)=,将F(z)写成z-1表示的形式,因此,故,或,例8 试求,的反变换。,先将F(z)写成z-1表示的形式,因此,由以上可知，用长除法求z反变换十分直观，并且便于用计算机求解，而另一方面虽然长除法给出了序列f(0),f(T),f(2T),的值，但由之要得到如例7所示的f(kT)的通项表达式却往往较为困难。为此可采用部分分式展开法。,二、部分分式展开法,通常F(z)是有理函数，它是两个多项式之比。与拉氏反变换的部分分式展开法类似，可以将 展开成一系列部分分式之和，然后利用查表
6、法分别求各项的z反变换，根据z变换的线性性质，即可得出f(kT)或f*(t)。,设,则可设,其中a1,a2,a3,an为待定系数，将上述方程两边同乘以（z-pi）,并令z=pi,使得方程右边除ai以外各项为零，即可求得,例9求,的反变换。,设,所以有,查表知,由于,0.5=e-aT,即,所以本题结果也可写成采样函数形式,例10 多重极点情况，求 的反变换。,F(z)有三个极点，,其中1为二重极点,设,可以求得,即,故,或,4 用z变换解线性差分方程,差分方程是描述离散时间系统的必不可少的数学工具。差分方程与微分方程两者之间的主要区别在于微分方程描述连续时间函数之间的关系，而差分方程则描述离散时
7、间函数或序列之间的关系。,线性常系数差分方程的一般形式为,其中，,上式差分方程称为n阶线性常系数差分方程。N称为阶次。,均为常数。,可以利用z变换来解差分方程。对上式两边取z变换，并利用z变换的超前定理，有,其中，y(m),m=0,1,n-1和u(m),m=0,1,n-1为初始条件。将上式左边所有关于y(m)zn-m项合并为(z),将右边所有关于u(m)zn-m项合并为(z),则上式可重写为,设u(k)为已知的输入离散函数，则U(z)已知，并设所有的初始条件均为已知的，即(z),(z)，由上式即可解出y(k)的z变换Y(z)求Y(z)的反变换即可得序列y(k)，它是原差分方程的解。,例11 已
8、知线性差分方程为,其中，,查表得，对以上差分方程取z变换得,代入已知条件可得,解得,即,k=0,1,2,计算机控制系统的数学描述,计算机控制系统通常是由计算机实现的数字控制器和属于连续系统范畴的被控对象所组成的“混合”系统。为了能建立该系统的数学模型，通常采用两种方法。一种是将连续的被控对象离散化，得到它所等效的离散系统模型，然后在离散系统的范畴内分析整个闭环系统。另一种方法是将数字控制器等效为一个连续环节，然后采用连续系统的方法来分析与设计整个控制系统。一般来说，采用前一种方法的较为普遍。,A2 脉冲传递函数,对于采样控制系统来说，它的脉冲传递函数形式与连续系统完全类似，设系统输入的采样信号
9、为r*(t)，它的z变换为R(z)。而系统输出的采样信号为y*(t),它的z变换为Y(z),如图所示，则系统的脉冲传递函数为,即脉冲传递函数定义为，在初始条件为零的前提下，系统输出信号的z变换与系统输入信号的z变换之比。已知系统脉冲传递函数G(z)以后，系统的输入输出间关系即可简单表示为,可以证明，上图所示系统的脉冲传递函数G(z)等于连续系统G(s)的脉冲响应函数g(t)的采样函数的z变换。脉冲传递函数G(z)可以通过下式计算得到。,(1)先用部分分式法将G(s)展开成每一项都能从z变换表中查到的部分分式，得到各分项的z变换，再求和。(2)先求出,然后得。,求G(z)=ZG(s)的方法,例1
10、 设在上图所示系统中,，试求系统的脉冲传递函数G(z)。,注意:,(1)G(s)是连续系统的传递函数，而G(z)则是表示G(S)与采样开关两者组合体的脉冲传递函数,G(z)包含了采样开关的性质。(2)G(z)与G(s)虽然都使用同一字母G，但G(z)决不是把G(s)中的S换成z得来的，它们之间满足关系式(3)在系统的输入端有采样开关,而在系统的输出端有 没有采样开关都不影响系统的脉冲传递函数G(z)。,对中间不带采样开关的两个连续环节串联情况，可以先求得等效环节 则可化成上图的情况,这时有其中，G1G2(z)是ZG1(s)G2(s)的简化记法。,例2 设在上图中,试求系统脉冲传递函数G1G2(
11、z)。,在上图的串联环节之间有一个同步周期采样开关，第一个环节的输出C1(s)经采样后得采样信号C1*(s)作为G2(s)的输入。也就是说两个串联环节的输入信号都是离散的脉冲序列，因此有,其中，G(z)=G2(z)G1(z)为串联环节的开环脉冲传递函数。,例3 设在图所示系统中，,试求整个串联环节的开环脉冲传递函数G(z)。,在图中G1(z)和G2(z)分别为,比较例2和3结果，可见在串联环节之间有无同步采样器，其脉冲传递函数是不同的。,普遍的结论：,(1)n个环节串联构成的系统，若各串联环节之间有同步采样器，总的脉冲传递函数等于各个串联环节脉冲传递函数之积，即,(2)如果在串联环节之间没有采
12、样器，需要将这些串联 环节看成一个整体，求出其传递函数,然后再根据G(s)求G(z)。,一般表示成,A3 闭环系统的脉冲传递函数,误差通道：,反馈通道：,输出通道：,根据z变换的线性性质有,上式表示采样信号e*(t)作为H(s)和G(s)串联输入，有,消去E(z)和B（z），可得到,即为上图所示闭环系统的脉冲传递函数。,1、控制算法D(z),控制算法是计算机控制系统的核心部分。它根据系统的误差，算出控制量u*(t),以使系统沿着减少误差的方向运动。控制算法通常是以差分方程形式表示的,其一般形式为:,两边取z变换可得,因此，控制算法部分脉冲传递函数D(z)为,2、广义对象的脉冲传递函数,所谓广义
13、对象通常是指保持器环节和被控对象环节串联后所构成的连续时间系统。本系统中保持器为零阶保持器，。因此广义对象的传递函数为:,由于广义对象的输入为采样信号，可求得它的脉冲传递函数为,因此，若设,则有,综合以上分析可得,例4 设被控对象传递函数,并且采用零阶保持器，求广义对象的脉冲传递函数G(z)。,3、整个系统的闭环脉冲传函数,类似前面的分析方法可以写出整个系统的闭环脉冲传递函数,控制器：,误 差：,系统输出：,即得,由之得出闭环系统脉冲传递函数,A4 采样系统的动态分析,采样系统的脉冲传递函数的一般形式为,对上式的分子和分母多项式进行因式分解可得,其中，Z1，Zm称为系统的零点，P1，P2，Pn
14、称为系统的极点。利用部分分式法，可将G（z）展开成,由此可见，采样系统的时间响应是它各个极点时间响应的线性叠加。如果了解了位于任意位置的一个极点所对应的时间响应，则整个系统的时间响应也就容易解决了。与连续系统类似，采样系统的零点和极点在z平面上的分布对系统的瞬态响应起着决定性的作用。特别是系统的极点不但决定了系统的稳定性,还决定了系统响应速度。在采样系统中，单位脉冲函数：显然，对于单位脉冲函数，它的z变换。在单位函数的作用下，系统的动态过程，称为系统的单位脉冲响应。,设系统输入为R(z)，输出为C(z)，系统脉冲传递函数为G(z)。,由于在单位脉冲作为输入时，有R(z)=1。这时系统输出,C(
15、z)=G(z)R(z)=G(z),因此，若记系统单位脉冲响应序列为h(k),则有,即系统脉冲传递函数G(z)的z反变换即为系统的单位脉冲响应函数。,1、实轴上单极点所对应的脉冲响应,设系统有一个位于Pi的单极点，则系统脉冲传函的部分分式中必存在有,的一项，,在单位脉冲作用下，对应于这一项,的输出序列为,当Pi位于z平面不同位置时，所对应的脉冲响应序列如图,h(k)为发散序列。,h(k)为等幅脉冲序列。,，h(k)为单调衰减脉冲序列，且,越接近0,衰减愈快。,时，h(k)为交替变号的衰减脉冲序列。,，h(k)为交替变号的等幅脉冲序列。,，h(k)是交替变号的发散脉冲序列。,2、一对共轭复数极点对
16、应的脉冲响应,设系统有一对位于 的共轭复数极点，则系统脉冲传递函数的部分式中必然有一项,其中Bi和Ci是由Ai,和a,b等计算所得到的系数。上式的z变换为,其中，,等确定。,当a,b位于z平面的不同位置时所对应的单位脉冲响应由下图给出。,令 为复数极点的模，它表示极点到原点之间的距离。,当,，h(k)为发散振荡序列。,当,，h(k)为等幅振荡序列。,当,，h(k)为衰减振荡序列，且r越小，衰减越快。,结论,采样系统脉冲传递函数的极点在z平面上的位置，决定了系统动态响应的速度。其中极点的模决定了系统脉冲响应序列是发散的还是衰减的，决定了系统的稳定性。(1)如果系统所有的极点的模都小于1，或者说系
17、统所有的极点都位于z平面上的以原点为圆心，以1为半径的单位圆内，则各项都对应着衰减的脉冲响应序列，随着，各项都趋向于零。因此，系统是渐近稳定的。(2)反之，若系统中有模大于1的极点，则当 时，即使其它项都趋向于零，但是由于相应于模大于1的极点的那项的时间响应趋向于无穷大，造成系统单位脉冲响应也趋向于无穷大，因此系统为不稳定。,A5 采样系统的稳定性,闭环系统脉冲传递函数分母多项式 称为系统的特征多项式方程A(z)=0称为特征方程特征方程的n个根称为系统的极点或称为系统的特征根。,根据上一节的关于极点位置与系统动态响应的关系和稳定性的分析可知:上式线性定常系统为渐近稳定的充要条件是系统特征方程所
18、有根（系统脉冲传函数的所有极点）都位于z平面的单位圆内。在连续系统分析中，采用劳斯判据可以在不求解特征方程的前提下，判定特征方程的根是否在复平面s平面的左半平面。在采样系统中无法用此判据直接判定特征根的模是否小于1。,为了能利用劳斯判据，可以采用 变换,把z平面上的单位圆变成 平面上的虚轴,把单位圆的外部变成 右半平面，把单位圆的内部变成 左半平面，如图所示。这样就可以通过劳斯判据判定 平面上位于 右半平面的特征根的个数来间接判定采样系统的稳定性。,变换是一双线性变换，令,或,即构成,变换。,为证明,变换能满足上图所示的对应关系，设,平面上的单位圆外部对应 平面的右半平面。,平面上的单位圆对应
19、,平面的虚轴。,平面上的单位圆外部对应 平面的左半平面。,例5 设采样控制系统的特征方程为：,进行,变换得,作劳斯阵列,右半平面有两个根，,根据劳斯判据,因此F(z)在单位圆外有两个根，所以该采样控制系统不稳定。,例6 讨论下图所示系统，试求为保证系统闭环稳定，放大倍数K的取值范围。,该系统的广义对象,可得闭环系统传递函数,特征方程为,作劳斯阵列,解得当0K2.4时，系统为稳定。,采样系统的稳定性通常与系统采样周期T有关，一般说来T越大，系统的稳定性就越差。,A6 采样控制系统的稳态分析,下图为单位反馈系统，其中G(s)为广义对象。讨论它在典型输入信号下系统的稳态误差。首先求出误差的采样信号e
20、*(t)的z变换E(z)与输入采样信号r*(t)的z变换R(z)之间的关系。由,得到,利用Z变换的终值定理，可求得系统稳态误差为,根据G(z)中包含有 z=1的极点个数，可以将系统分成0型（没有z=1极点），1型（1个z=1的极点），2型（2个z=1的极点）等。,1、单位阶跃输入,对于0型系统，Kp为有限值，故有,对于1型或高于1型的系统有,所以有,系统无稳态误差。,2、单位斜坡输入,其中，,为速度误差系数。,对于0型系统，Kv=0,即,对于1型系统，Kv为有限值，,对于2型及以上系统,，故,综上所述，采样控制系统的稳态误差与广义对象所对应的脉冲传递函数G(z)中所含z=1的极点个数密切相关。在非阶跃输入时还和采样周期有关。,
