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1、三、已知平行截面面积函数的 立体体积,第二节,一、平面图形的面积,二、平面曲线的弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分在几何学上的应用,第六章,一、平面图形的面积,1.直角坐标情形,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,边梯形面积为 A,右下图所示图形面积为,例1.计算两条抛物线,在第一象限所围,图形的面积.,解:由,得交点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.计算抛物线,与直线,的面积.,解:由,得交点,所围图形,为简便计算,选取 y 作积分变量,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求椭圆,解:利用对称性,所围图形的面积.,有,
2、利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a=b 时得圆面积公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程,给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值,则曲边梯形面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积.,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积近似值(小元素)为,所求曲边扇形的面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应 从 0 变,例5.计算阿基米德螺线,解:,点击图片任意处播放开始或暂停,机动 目
3、录 上页 下页 返回 结束,到 2 所围图形面积.,例6.计算心形线,所围图形的,面积.,解:,(利用对称性),心形线 目录 上页 下页 返回 结束,心形线(外摆线的一种),即,点击图中任意点动画开始或暂停,尖点:,面积:,弧长:,参数的几何意义,例7.计算心形线,与圆,所围图形的面积.,解:利用对称性,所求面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.求双纽线,所围图形面积.,解:利用对称性,则所求面积为,思考:用定积分表示该双纽线与圆,所围公共部分的面积.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,二、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限,即,并
4、称此曲线弧为可求长的.,定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.,(证明略),机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称,(1)曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,(P168),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3)曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分):,(自己验证),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,成悬链线.,求这一段弧长.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,下垂,悬链线方程为,例1
5、0.求连续曲线段,解:,的弧长.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11.计算摆线,一拱,的弧长.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.求阿基米德螺线,相应于 02,一段的弧长.,解:,(P349 公式39),小结 目录 上页 下页 返回 结束,三、已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上连续,特别,当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.计算
6、由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转,而成的椭球体的体积.,解:方法1 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b=a 时,就得半径为a 的球体的体积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14.计算摆线,的一拱与 y0,所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转而成的立体体积.,解:绕 x 轴旋转而成的体积为,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,绕 y 轴旋转而成的体积为,注意上下限!,注,注 目录 上页 下页 返回 结束,分部积分,注,(利用“偶倍奇零”),柱壳体积,说明:,柱面面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束
7、,偶函数,奇函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例15.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,并,与底面交成 角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:可否选择 y 作积分变量?,此时截面面积函数是什么?,如何用定积分表示体积?,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,垂直 x 轴的截面是椭圆,例16.计算由曲面,所围立体(椭球体),解:,它的面积为,因此椭球体体积为,特别当 a=b=c 时就是球体体积.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的体积.,内容小结,1.平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2.平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意:求弧长时积分上下限必须上大下小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积,绕 x 轴:,绕 y 轴:,(柱壳法),机动 目录 上页 下页 返回 结束,
