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1、北京大学“专攻北大课题组”,数学示范课,第一讲 吃透课本 夯实基础,主讲：刘老师,北大状元学习方法与“北大实验班”简介,向成功者学习,是最直接、最有效的途径！北京大学社会调查研究中心成立的“北大学生中小学阶段素质养成与成功家庭教育研究”课题组，（简称“专攻北大”课题组）历时3年对1200多名北京大学优秀学生进行广泛的研究，包括其本人中小学阶段的素质养成、家庭教育以及所就读中小学校等多方面因素深入而系统的研究，积累有5000多项调查数据和100多万字的案例资料，取得了显著的科研成果。,“北大状元学习方法”制定了学习过程的具体操作标准和执行步骤，是学生学习的黄金法则，它以新课标为导向，以考纲要求的
2、三基四能为目标，设计出语文、数学等高效学习的路线图（学习的捷径）让学生养成良好的学习习惯，少走弯路，不偏离正确轨道。减少盲目性、少做无用功。学习起来不再无序、低效、厌倦！,每个学生坚持一个月就能按照“北大状元学习法”的标准调整自己的学习行为，坚持三个月就能养成终生受益的学习习惯，学习成绩自然也会稳步提升。特点：1、高效：1课时=2课时2、高质：按新课标、考纲考点要求制定了学习的标准。3、通用：总结出各章节的共同规律，学会一个章节就能迁移到所有章节。,“北大实验班”简介,为了让同学们分享北大状元学习方法，像北大学生一样高效学习，稳步提高成绩。“专攻北大课题组”与本校合作共建“北大实验班”同学们可
3、以在学校的组织下报名参加“北大实验班”我们将在一年的时间内，定期与实验班的同学们分享40个课时语文、数学的学习方法，每科含六大模块，解决学习过程中十几个难题。北大状元就是靠这些方法考上北大的，希望我们每个人用状元的学习方法，叩开名校之门！,北京大学,清华大学,小测试,定义在R上的函数y=f(x),当x0时，f(x)1，且对于任意的a,bR，都有f(a+b)=f(a)f(b)。证明：f(x)是R上的增函数。,思考1：,函数单调性定义：,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值 时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数(decreasingfunction).,吃透课本的重要性
4、：高考拿高分必先从吃透课本!1、课本是知识和方法的载体。是理解、应用、能力形成的基础，而基础的深厚、扎实程度决定你学习的深度和高度。2、万变不离课本，课本是题海和考点的源头，是金矿，含有丰富的有价值的信息。是值得反复阅读的、最有权威经典。其价值远大于教辅书，不能看轻。3、看似很基础、很简单，实际上包含丰富的知识、技能、思想方法，深挖课本才能拓展、延伸，深化理解。4、高一高二必须吃透课本，为高三的复习打好基础。,1.3.1 函数的单调性,观察下列函数图象,体会它们的特点:,在上面的六幅函数图象中,有的图象由左至右是上升的;有的图象是下降的;还有的图象有的部分是下降的,有的部分是上升的.函数图象的
5、“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质单调性.如何描述函数图象的“上升”“下降”呢?以二次函数f(x)=x2 为例,列出x,y的对应值表:,对比左图和上表,可以发现什么规律?,图象在y轴左侧“下降”,也就是,在区间(-,0上随着x的增大,相应的f(x)反而随着减小;图象在y轴右侧“上升”,也就是,在区间(0,+)上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.,练习:利用刚才的方法描述一下左侧四个函数图象的“上升”“下降”的情况.,思考,如何利用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大,相应的f(x)反而随着减小.”“随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”?,有同学认为可以这样描述:在区间(
6、0,+)上,x1x2时,有f(x1)f(x2).他并且画出了如下示意图,你认为他的说法对吗?你能举个反例吗？,对于二次函数f(x)=x2,我们可以这样来描述“在区间(0,+)上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”:,试一试:你能仿照这样的描述,说明函数f(x)=x2在区间(-,0上是减函数吗?,定义:,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数(increasing function).,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2)
7、,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数(decreasing function).,注意比较这两句话的不同之处和共同之处.想一想为了说明一个函数在某个区间上是增函数还是减函数,我们应该重点说明哪些要素?,练习:,例1 下图是定义在区间-5,5的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?,例:物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告述我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之.,证明:,1,2,3,4,理解课本的三个层次,第一层次：字面意义的理解表现：1、看书时浮光掠影，浏览、粗读。2、很少看书、认为课本
8、简单不重视。3、死记硬背、机械应用，套公式。结果：1、只能理解表面意思、知其然不知 其所以然、似懂非懂。2、知识结构散乱、不成体系。3、做题时缺乏思路，总是做半拉子题。,第二层次：字里行间的理解表现：1、看书比较多（3次上），看得仔细、精读。边看边划、批注、思考。2、看完后有总结、写笔记。多角度去理解、回忆老师强调的重点。3、做题时能回归课本，巩固、检测、加深理解课本内容。,结果：1、能在理解的基础上复述课本、审题时能辨识出概念、定理、性质等。2、能建立比较完整、科学的知识体系。3、重视课本的例题、习题、并从中总结通性、通法。4、能用精准、规范的数学语言表达，解题有规范的步骤和方法。,第三个层
9、次：挖掘课本背后的含义表现：1、看书5次以上，每次都精读，边看边总结，每次都有新的收获。把书当做经典来读。2、例题、习题做很多遍、变换条件一题多变。结果：1、不仅能总结出本章的知识体系，同时总结本章的思想方法。2、能拓展、延伸课本的核心知识点。3、能举一反三、触类旁通。,万丈高楼平地起，金字塔之所以屹立几千年不倒，就是因为它有雄厚、坚实的底座，很多人眼高手低，好高骛远，不愿做奠基性的工作，认为是低层次的，显示不出自己的能力，很少看书，耗费大量的时间去做题。根基不深、理解很肤浅，怎么能在此基础上建构高楼大厦呢？学习没有捷径、也没有秘诀。有的只是科学态度、科学方法。数学是逻辑严密的学科，尤其要循序
10、渐进，不能跳跃式学习，必须尊重数学本身特点，尊重认知规律。北大状元所谓的“秘诀”之一：吃透课本，夯实基础。,吃透课本四字诀：全、准、通、化,全：是指每个知识尤其是核心知识有很多侧面，要把它们作为一个整体去看，不能只见树木不见森林。准：是指每个知识点都有自己特定的含义和规范性的语言，应用（解题）有自己规范性的解题步骤和方法。很多同学忽视这点，马马虎虎很随意，用自己的语言表述，胡乱答题。基本功不扎实，考试丢分很多，很吃亏。,通：知识之间存在紧密的关系，不是孤立的，它要求我们打通他们之间的联系，这有助于用已有的知识探究新的知识，衍生新的知识点。解题时能架起已知和求解的桥梁。化：就是消化后变成自己的东
11、西，新旧知识联系起来形成自己的知识网络、方法、技能结构，达到融会贯通、运用自如，提高学习能力。,吃透课本的要求一：多角度看,横看成岭侧成峰 远近高低各不同不识庐山真面目只缘身在此山中看问题要多角度看才能全面的理解。数学核心知识点一般要从以下几个角度理解：1、形成过程（怎么来的；用什么方法、途径）2、内涵、外延（内部要素之间的关系、适用范围）3、图像及性质（特性）4、应用（能做什么？怎么做？）5、表示方法（数学符号的表现形式）,核心知识点的几个侧面如下图示：,这几个侧面与核心知识点共同形成完整体系,核心知识点,形成过程,内涵外延,表示方法,性质,应用,问题一：如何全面理解？一、翻开书看看单调性有
12、那几个侧面？二、是怎么描述核心概念的？三、是不是都是核心概念的一部分？四、你以后看书是不是把它们作为一个整 体去看？,问题二：如何深化理解？从多角度阅读理解,解决的是全面理解问题，接下来要想深入到思维的层面深化理解就需要多层次看书了，翻开书试着看看，你能否看出每个部分的逻辑结构？这样看是为了用“显微镜”看清各个知识点的脉络、组成部分以及各部分之间的关系。,吃透课本的要求二：看逻辑结构（推理的过程）,以下是关于函数单调性形成过程的逻辑结构展示图：,观察图像,逻辑结构展示图说明1、箭头内是推理方法，主要有：归纳法、图表法、举例子、下定义、比较法、观察法、数形结合法等，2、方框图是方法对应的结论或提
13、出的问题。3、形成过程的步骤是：观察总结得出性质进一步研究怎样描述方法一：以二次函数为例列图表总结得出描述方法、但发现还不能用数学方法计算方法二：用解析式f(x)=x描述引出一般性定义。可以看出经过三个阶段才形成了最终定义。,以上是阅读单调性概念的形成过程后画出的逻辑结构图，其中有方法、步骤，还有推演的问题和结论，三者有机结合构造了单调性形成的逻辑结构图。总结：1、方法贯穿始终，是思维的轨迹，是对问题相关信息处理、加工的过程。2、方法+流程（步骤）+问题/结论=逻辑结构图 3、它是课本中每个知识点的呈现方式，更是我们每个学生从字里行间理解每个知识点的路线图，这是吃透课本必须要掌握的方法。,逻辑
14、结构的基本模型有下面三种：A B A推出B A和B推出C A、B推出C再和D联合推出E.数学课本中就是靠这些基本的逻辑结构建构起严谨的科技型说明文的。,A,B,C,A,B,C,D,E,吃透课本的要求三：重点知识的拓展延伸,增函数概念的内涵、外延怎样理解？怎么拓展延伸？增函数概念：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数补充：内涵是概念内部几个要素之间的关系，外延是指概念的适用范围,增函数概念的三个要素如下：,1、定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时限制条件（定语
15、）：1）定义域内某个区间 2）任意自变量2、都有f(x1)f(x2)限制条件（定语）1）都有 2）与x1,x2对应的函数值f(x1)、f(x2)3、增函数结论,增函数概念要素间关系简化为：任意x1x2时,都有f(x1)f(x2)推出是增函数。以上句子中的关键词：任意-都有-说明增函数概念成立的条件，适用条件决定了概念的使用范围从以上关系可以看出：1、条件和结论是充要条件，互为因果关系2、知道其中两个要素就可以推出第三个要素，排列组合一下有三种基本题型：（能解决哪些问题）1）比较函数值大小（求最值是特例）2）比较定义域内值大小3）证明是否增函数,拓展一下：1、函数解析式是个隐含的要素，如果把函数
16、解析式中的系数作为第四个要素，那么就可以拓展出新的题型：求函数解析式的系数的取值范围。2、斜率=f(x1)-f(x2)/(x1-x2)(经过这两个点的直线的斜率）斜率为正数就是增函数 负数就是减函数。斜率能精确的描述上升或下降的幅度。再延伸就是导数（还没有学）描述的图像的任意一个点的切线斜率。一次比一次精确。以上就是从函数单调性的定义推导出了四个基本题型，经过变形后推导出和斜率、导数一样的表达式。,总结：拓展、延伸是不用做题就能从基本概念、定理、公式的要素重新组合拓展出基本题型或者新的题型。它揭示了本知识点的各种用途，也揭示出命题人出题的基本思路：从最基本的知识点出发，变形组合出题海。,求函数
17、定义域内值的大小,1.已知f(x)是-2,2上的增函数，比较f（-x+2x-2）与f(-2)的大小。,证明是否增函数,拓展二：函数解析式是个隐含的要素，如果把函数解析式中的系数作为第四个要素，那么就可以拓展出新的题型：求函数解析式的系数的取值范围。拓展三：斜率=f(x1)-f(x2)/(x1-x2)斜率为正数就是增函数 负数就是减函数。,拓展四：增函数的概念中蕴含着解题的步骤和方法：比如：证明一个函数是增函数：第一步：设元：定义域的某个区间的任意x1、x2，且x1x2第二步：作差：f(x1)-f(x2)第三步：判断：f(x1)-f(x2)0第四步：证明：是增函数,解题的方法和步骤就是从课本上的
18、基本概念、公式、定理等基础知识翻译出来的。还没有吃透课本一味的做题，就如同盲人摸象，糊里糊涂，没有依据。效果很差。,重点知识的剖析、拓展延伸结构图,重点知识重点读,重点知识,1、分拆开几个要素2、分析几个要素关系（包括隐含的要素）,题型,解题方法,新联系、新知识,本节知识与方法结构图,小结,知识目标：1.函数的单调性概念的形成过程;2.增(减)函数的概念;3.增(减)函数的图象特征;4.增(减)函数的判定方法、步骤;5.利用增（减）函数比较大小方法目标：观察法、比较法、分类法、归纳法、数形结合法、,本课总结,总结说明：一、方法比知识重要的原因是什么？1、知识形成、组合、应用、拓展等都要用到方法
19、，方法是过程、知识是结论。方法是高度概括的程序性知识，是获取知识的技能。2、具有比知识更加稳定持续的能力，知识可以忘掉、方法形成能力很难忘，获益一生。3、学会一种方法可以解决所有同类的问题，具有普适性。二、课本隐含了丰富的很有价值的信息，只有这样挖掘出高价值的信息才能汲取营养。单调性隐含着什么信息，能演变出哪些题型。,吃透课本的基本方法和三大步骤：,多角度粗读远观整体感知有那几部分？（形成过程概念性质表示方法图线特征例题应用）,多层次精读近观逐字逐句字里行间层次结构,拓展延伸重点知识研读深入看（显微镜）剖析核心知识点拓展出：1、题型2、解题方法3、和别的知识点的联系,吃透课本 夯实基础的普适性
20、,一、因为所有的章节都象函数单调性一样有：形成过程、概念的内涵外延、性质、应用。都有相同的逻辑结构。所以这个方法具有通用性.二、数学就是用文字语言、符号语言、图象（表）语言等表达的科技性的说明文，所以要借鉴语文科技说明文阅读的方法。比如找说明对象、线索、层次结构、写作特色等。物理、化学、生物、地理也一样啊。历史、政治都是议论、叙述为主的文体。所以语文是最基础的工具课。学好语文阅读有助于学好其他学科。,下一节课讲什么？如何建立知识结构？如何建立能力结构？,阅读课本后1、怎样把课本知识内化成自己的东西？2、怎样建立了稳定的知识结构？3、怎么建立自己的能力结构？不断提升学习能力？下节课接着讲如何建立知识大厦、能力大厦的方法。,函数单调性的应用（能做什么？怎么做？）,接看函数单调性的应用,再 见,
