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1、第十一讲 估计水箱水流量模型,一、问题的提出 随着社会和经济的不断发展，环境和资源问题日益突出，水便是其中的主要问题之一。1997年联合国水资源会议曾郑重向全世界发出警告：“水，不久将成为继石油危机之后的下一个社会危机”。我国是一个缺水的国家，人均水资源拥有量仅为2150m3/a（按13亿人计），不到世界人均水平的四分之一，排在世界第109位。特别是“三北”（东北、华北和西北）地区和经济发达的沿海地区，水的供需矛盾已十分突出。有关资料表明，我国每年因缺水而,影响工业产值已达2300多亿元。预计到本世纪末，全国年总需水量将达到700亿m3，而缺水量也将达到70亿m3，水资源短缺已成为制约我国经济
2、和社会发展的重要因素。某些地区的用水管理机构为了达到节约用水的目的，需估计公众的用水速度（单位是G/h）和每天总用水量的数据。现在许多地方没有测量流入或流出水箱流量的设备,而只能测量水箱中的水位（误差不超过5%）。当水箱水位低于某最低水位L时，水泵抽水，灌入水箱内直至水位达到最高水位H为止，但是也无法测量水泵的流量，因此在水泵启动时不易建立水箱中水位和水泵工作时用水量之间关系。水泵一天灌水12次，每次约2h。试估计在任意,法测量水泵的流量，因此在水泵启动时不易建立水箱中水位和水泵工作时用水量之间关系。水泵一天灌水12次，每次约2h。试估计在任意时刻(包括水泵灌水期间)流出水箱的流量，并估计一天
3、的总用水量。表1给出了某镇中某一天的真实用水数据，表中测量时间以秒为单位，水位以E为单位。例如3316s以后，水箱中的水深降至31.10E时，水泵自动启动把水输入水箱；而当水位回升至35.5E时，水泵停止工作。本问题中使用的长度单位为E(=30.24cm）;容积单位为G(=3.785L(升)。水箱为圆柱体，其直径为57E.,表1 真实用水数据,二、问题的分析 1.数据变换：水位与时间的关系转化为水箱中水的体积与时间的关系.2.探求水箱中水的流量与时间的函数关。,三、模型假设 1除了问题中特别说明的数据以外，其它给定的数据其测量误差不超过5%。2影响水箱流量的唯一因素是该区公众对水的普通需要。所
4、给的数据反映该镇在通常情况下一天的用水量，不包括任何非常情况，如水箱中水的短缺、水管破裂、自然灾害等。,由托里查里（Torricelli）定律，从水箱中流出水的最大速度与水位高的平方成正比。对于所给的数据，其水位的最大高度为35.5E，最小高度为27E，因此对两个高度的最大流速比为，这个数字已很接近1，所以可以假,定水位对流速没有影响。类似地，还假设大气情况，温度变化等对水流速均无直接影响。,3水泵的灌水速度为常数，不随时间变化也不是已灌水量的函数，因此假设水泵大约在水位27E时开始灌水，在水位35.5E时停止灌水。同时假设水泵不会损坏或不需要维护。4从水箱中流出的最大流速小于水泵的灌水速度。
5、为了满足公众的用水需求不让水箱中的水流尽。5每天的用水量分布都是相似的。因为公众对水的消耗量是以全天的活动（诸如洗澡、做饭、洗衣服等）为基础的，所以每日用水类型是相似的。,6水箱的流水速度可用光滑曲线来近似。每个用户的用水需求量与整个区的用水需求量相比微不足道，而且它与整个社区需求量的增减情况是不相似的。,四、分析与建模 引入如下记号：V、Vi 水的容积，时刻ti水的容积G）；ti 时刻（h）；p 水泵的灌水速度（G/h）;T0 初始数据的当天测量时间;T 当天的时间（以24小时制）;f(t)流出水箱的流速是时间的函数（G/h）;,根据需要先将表2中的数据作变换，即，其中R表示水塔底面半径，L
6、(t)表示时刻t时水箱的水位高度，秒（s）变换为小时（h），水位高变换为水的体积，得到表2。,表2 水量数据,从此表的数据可知,在水泵的第二次抽水时间区间内,从水箱中流出的平均流速必定大于第一次抽水时的流速。因为第二次灌水时间长得多。但是，第二次水泵停止灌水的确切时刻是未知的，在水泵第二次灌水后所测得的水位与水泵实际停止运行的水位是不同的,因此,水泵停止运行的时刻一定在图2右边阴影部分两次测量时间之间.我们需要估计水泵开始和停止灌水的时间.水泵第一次约在8.968h后开始运行的,因为这时水箱中水的体积约为514800G,水泵停止灌水时间在10.926h10.954h之间的0.028长的区间内。
7、,我们可以确定水泵第二次开始运行时间为20.839h,因为这时水的体积又为14800G,也可确定水泵第二次停止运行时间为22.958h,这是由于在紧接着的测量时刻23.88h测得水的体积为663400G,与水泵停止时的水位67700G相比流掉了14300G。计算出在相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出水的平均速度，并将其列成表3,并划出其散点图。,表3 流量数据,下面就对表3的数据进行拟合,最后对其积分计算出每天的用水总量。借助于软件包（Mathematica）用9次多项式进行拟合，得,拟合的复相关系数为0.980767,t 的定义由下式给出.,似乎采用9阶多项式有些过分难，其实，数据的
8、波动决定了只有采用高阶多项式拟合才能提高数据拟合的准确性。采用低于9阶多项式拟合，其复相关系数不是很大，因此，我们选择了9阶多项式进行回归拟合。另外，f 为多项式时，容易进行积分。,已假定水泵的灌水速度为一常数，同时知道在水泵抽水时，水箱中水的体积平均变化速度V/t应近似等于水泵的灌水速度p减去这段时间从水箱中流出水的平均流速，所以、p可表示为,这里f(t)在t区间的两端点间进行积分。,如果此模型确实准确地模拟了这些数据，那么在不同的灌水周期中，按此模型计算出的水泵灌水速度应近似为常数。下面，通过水泵开始和停止工作的两段区间检验这一点。,t1区间内f(t)的平均值为,所以，,t2区间内f(t)
9、的平均值为,计算得到的p1与p2相差仅3.6%，此结果足以支持该模型。,由于假设了在全天中从水箱里流出的水流量是平稳的,且我们所得到的数据点非常接近于水泵抽水的开启和停止时间，因此，在水泵第一次灌水时情况就不同了，因为从表4-3估计得到水泵开启和停止时水的流速相差1000G/h，且数据没有给出水泵停止灌水的近似数据点，因此,在第二此灌水时得到的平均流速要比实际平均流速小很多。,五、模型求解 由上面的“分析余建模”中得到水的流速函数f(t)在t=0.46(h)和t=24.46(h)时的值分别近似为14170 G/h和13730 G/h,相差仅3%，从而可认为得到了f(t)的连续性。于是，一天里的
10、用水总量近似地等于曲线f(t)在24小时周期内的积分 这个数字近似对应于水箱总体积的1.5倍。因为按常规每1000人的用水量为105000(G/d),其中d为天，因此估计这个区大约有3200人。,从f(t)也可求得流出水箱的平均流速 还可求得水泵的平均流速为,六、模型的评价 1.优点(1)模型的主要优点是证实了水泵的灌水速度是常数,这也是我们所期望的。(2)如果所给数据反映了该社区的通常情况,那么 可适合于一天的任何时刻。,(3)任意时刻从水箱中流出水的流速都可通过多项式模型计算出来。(4)用9次多项式曲线拟合所给的数据其复相关系数为0.981,且回归值与原始数据点没有很大的波动。(5)在24
11、小时周期的端点,模型的取值非常接近,可以推测几天的流速。(6)人们自然会将用水量与用电量联系起来,特别是对家庭不用天然气的情况。例如，烧饭需要大量的水来洗碗。同时烧饭和照明等也要用电,洗澡的耗水量也很大,并伴随着电力的消耗(热水器、电吹风等)。通过调查比较得到,用水分布类型是及其相似的。,2.缺点(1)该模型的一个主要缺点就是数据太少,只能参照一天的数据,而对任何现象建模时,最好有在不同条件下很多天所采集的数据。(2)如果知道水泵的抽水速度,就能更好地估计水泵灌水期间水的流速以及更准确地建立模型。(3)通过考虑体积测量的差异建立模型,这种做法包含着某种不精确性。,作业七,试将水箱水流量问题的建模方法推广到闭路电视的普及预测模型，下表列出了美国自1952年至1978年闭路电视的统计数据。根据上表中的数据可以绘制美国家庭采用闭路电视的增长曲线。请利用已有历史资料来预测未来闭路电视在家庭采用的百分比。,
