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1、第六章 线性空间与线性变换,向量空间又称线性空间,是线性代数中一个,化了.,具一般性.,当然,推广后的向量概念也就更加抽象,要把这些概念推广,使向量及向量空间的概念更,量,并介绍过向量空间的概念.,在这一章中,我们,最基本的概念.,在第四章中,我们把有序数组叫向,线性空间的定义,主要内容,举例,线性空间的性质,子空间,第一节 线性空间的定义与性质,定义 1 设 V 是一个非空集合,R 为实数域.,八条运算规律(设,V;,R):,的积,记作;,并且这两种运算满足以下,总有唯一的一个元素 V 与之对应,称为 与,=+;,个元素 V 与之对应,称为 与 的和,记作,如果对于任意两个元素,V,总有唯一
2、的一,又对于任一数 R 与任一元素 V,1.定义,一、线性空间的定义,(i)+=+;(ii)(+)+=+(+);(iii)在 V 中存在零元素 0，对任何 V,(v)1=;,使+=0;,(iv)对任何 V,都有 的负元素 V,都有+0=;,(vi)()=();,(vii)(+)=+;(viii)(+)=+.那么,V 就称为(实数域 R 上的)向量空间(或,称为向量空间.,就称为线性运算;,凡定义了线性运算的集合,就,简言之,凡满足八条规律的加法及乘数运算,统称为(实)向量.,线性空间),V 中的元素不论其本来的性质如何,在第四章中,我们把有序数组称为向量,并对,运算.,规律,当然也就不一定是有
3、序数组的加法及数乘,(2)向量空间中的运算只要求满足八条运算,(1)向量不一定是有序数组;,特殊情形.,比较起来,现在的定义有了很大的推广:,的集合称为向量空间.,显然,那些只是现在定义的,足八条规律.,最后,把对于运算封闭的有序数组,它定义了加法和乘数运算,容易验证这些运算满,例 1 次数不超过 n 的多项式的全体,记作P x n,即,对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成,下面举一些例子.,只要验证 P x n 对运算封闭:,项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律,故,向量空间.,这是因为,通常的多项式加法、数乘多,二、举例,所以 P x n 是一个向量空间.,例 2 n 次多项式的全
4、体,对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空,Q x n 对运算不封闭.,间.,这是因为 0 p=0 xn+0 x+0 Q x n,即,例 3 正弦函数的集合,对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成向量,闭:,满足线性运算规律,故只要验证 S x 对运算封,空间.,这是因为,通常的函数加法及乘数运算显然,所以 S x 是一个向量空间.检验一个集合是否构成向量空间,当然不能,则就应仔细检验是否满足八条线性运算规律.,加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算,只检验对运算的封闭性(如上面两例).,若所定义的,对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法,例 4 n 个有序实数组成的数组的全体,不构成
5、向量空间.,可以验证 Sn 对运算封闭.,但因,不满足运算规律(v),即所定义的运算不是线性,个集合,若定义两种不同的线性运算,就构成不同,的概念是集合与运算二者的结合.,一般地说,同一,空间而 Sn 则不是向量空间.,由此可见,向量空间,由于在其中所定义的运算不同,以致 Rn 构成向量,比较 Sn 与 Rn,作为集合,它们是一样的,但,运算,所以 Sn 不是向量空间.,的向量空间若定义的运算不是线性运算,就不能,构成向量空间.,下例.,为了对线性运算的理解更具有一般性,请看,可以说,把向量空间叫做线性空间更为合适.,间的本质,而其中的元素是什么倒不重要,由此,所以,所定义的线性运算是向量空,
6、例 5 正实数的全体,记作 R+,在其中定义加法及乘数运算为,加法:,数乘:,验证 R+对上述加法与乘数运算构成线性空间.,对加法封闭:对任意的 a,b R+,有,证 实际上要验证十条:,对数乘封闭:对任意的 R,a R+,有,(i),(ii),(iii)R+中存在零元素 1,对任何 a R+,有,(iv)对任何 a R+,有负元素 a-1 R+,使,(v),(vi),(vii),(viii),因此,R+对于所定义的运算构成线性空间.下面讨论线性空间的性质.,性质 1 零元素是唯一的.,三、线性空间的性质,性质 2 任一元素的负元素是唯一的.,负元素记作-.,的,性质 4 如果=0,则=0 或
7、=0.,性质 3 0=0;(-1)=-;0=0.,在第四章中,我们提过子空间,今稍作修正.定义 设 V 是一个线性空间,L 是 V 的一,因 L 是 V 的一部分,V 中的运算对于 L 而言,规,一个非空子集要满足什么条件才构成子空间?,子空间.,乘两种运算也构成一个线性空间,则称 L 为 V 的,个非空子集,如果 L 对于 V 中所定义的加法和数,四、子空间,律(i),(ii),(v),(vi),(vii),(viii)显然是满足的,因此,因此我们有 定理 线性空间 V 的非空子集 L 构成子,空间的充要条件是:,L 对于 V 中的线性运算封闭.,满足规律(iii),(iv).,但由线性空间
8、的性质知,若 L 对运算封闭,则即能,只要 L 对运算封闭且满足规律(iii)、(iv)即可.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节
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