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1、4.单侧极限与无穷大,1.单侧极限概念及其定义,当自变量趋于有限数时，函数极限 的数量化刻画是“语言”：,这时可以理解为：只考虑点 x0 的 左邻域 内，自变量 从左边趋于 有限数 x0 时，函数值 f(x)有向常数 A 无限趋近的变化趋势。这种情况下，称函数 f(x)在点 x0 的 左极限 存在，记为：,只考虑点 x0 的 右邻域 内，自变量 从右边趋于 有限数 x0 时，函数值 f(x)有 向常数 A 无限趋近的变化趋势。这种情况下，称函数 f(x)在点 x0 的右极限 存在，记为：,函数 f(x)在点 x0 的 左极限 与 右极限 统称为函数 f(x)在点 x0 处的 单侧极限。原规定的
2、函数 f(x)在点 x0 的 极限 也就常被称为 双侧极限。,利用单侧极限定义 验证极限问题,定理：函数 f(x)在点 x0 点处有（双侧）极限 的充分必要条件是：它在点 x0 处的 左极限 与 右极限 均 存在 并且 相等。,说明(1)函数极限的 四则运算法则 对函数的 单侧极限 也是成立的。,单侧极限 与 双侧极限 的相互关系显然有以下的定理：,（2）“简单函数”的 单侧极限 已知结果仍然是：,（3）求“整式函数”和“某些 有理分式函数”的 单侧极限 时，代入法 仍然成立；求“另一些 有理分式函数”的 单侧极限 时，消去零因式法 仍然成立；求“某些 无理分式函数”的 单侧极限 时，共轭因式
3、法 也仍然成立。,2.单侧极限的应用实例,函数 f(x)的 单侧极限 概念在研究 分段函数 的极 限时有 不可或缺 的应用。,题型 I：研究 分段函数 在 分段点 上的函数极限问题.,题型 II：已知 分段函数 在 分段点 上极限存在，求函数表示式中的 待定常数问题.,3.无穷大的概念及其定义,现在考虑当 x 0 时，函数 y=1/x 的极限。,从图中可以看出，当 x 0 时，函数 y=1/x 的取值没有向某个常数无限趋于的极限趋势。根据前面的函数极限概念，当 x 0 时，函数 y=1/x 的极限不存在。但是，我们可以说，当 x 0 时，函数 y=1/x 的取值有一个 无限远离原点 的趋势！为
4、了对这种也有某种趋势的情况进行研究，我们称 这种极限不存在的特殊情况 为：当 x 0 时，函数 y=1/x 是无穷大。,“无限远离原点”的含义，从数量化角度看，可以理解为：无论给定多大的正数 E,函数值 f(x)与原点的距离|f(x)|要比 这个 正数 E 大：|f(x)|E。,当 x 0 时，函数 y=f(x)=1/x 的取值有一个 无限远离原点 的趋势,从数量化角度看，便可理解为：无论给定多大的正数 E,总可找到自变量 x 非常接近原点的一个范围，当 x 在此范围中时，相应的函数值 f(x)与原点的距离必定大于这个正数 E.据此，我们可以给出以下“当 x 0 时，函数 y=1/x 是无穷大
5、”的 数量化定义,“x 0”的含义，或者说，“x 无限接近点 零”，从数量化角度 看，可以理解为：动点 x 与原点的距离|x-0|小于一个 很小的 正数：|x-0|.,定义 设函数 y=f(x)在 定点 x 0 的某个去心邻域中有定义。若对于任意给定的正数 E，不论它多大，都可找到一个邻域半径值 0,使得对于满足不等式 0 E，则称“当自变量 x 趋于点 x 0 时，函数 f(x)时无穷大”，简记为：,以上函数极限时无穷大的数量化说法，也可简明地表示为：,注意：(1)“无穷大”不是一个很大的数，它只表示具有“无限远 离原 点”趋势 的一种函数。,(2)函数是“无穷大”不是函数 极限存在 的一种情况，故极 限的 四则运 算法则 不能直接运用于“无穷大”。,(3)“无穷大”“无穷大”“无穷大”。反例：,(4)“无穷大”必须在说明自变量的具体极限过程下，才有意义。,4.用定义验证函数是无穷大的应用实例,
