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1、3.2 单位序列和单位序列响应,一、单位序列和单位阶跃序列,1.单位序列定义为：,单位序列也称作单位样值序列、单位脉冲序列或单位冲激序列。,单位序列的移位：,3.单位阶跃序列定义为：,2.的取样性质,单位阶跃序列的移位：,4.阶跃序列与冲激序列之间的关系,有了阶跃序列和单位序列后，可简化序列的表示。,如：,可表示为：,当LTI离散系统的激励为单位序列 时，系统的 零状态响应称为单位序列响应，用 表示。,单位序列响应的形式与齐次解形式相同。,二、单位序列响应和阶跃响应,1、单位序列响应,例3.2-1 求图示离散系统的单位序列响应。,解（1）写差分方程，求初值。,满足,代入初值得,2、求,当 时,
2、例3.2-2 求图示离散系统的单位序列响应。,解（1）写差分方程,（2）求单位序列响应,设 单独作用产生的单位序列响应为,则：,满足,由上题,2.阶跃响应,当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列 时，系统的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响 应，用 表示。,若已知系统的差分方程，用经典法可以求得系统的单位阶跃响应。,同理,另外，若已知系统的，根据LTI系统的线性性质 和时不变性，系统的阶跃响应,单位序列响应与阶跃响应的关系,连续系统冲激响应与阶跃响应的关系,例3.2-3 求例3.2-1中图3.2-3所示系统的单位阶跃响应。,图3.2-3,解（1）经典法,所示系统的差分方程为：,阶跃响应满足
3、方程：,由方程利用迭代得：,阶跃响应满足方程：,（2）利用单位序列响应,下表列出几种常用序列的求和公式。,表3-3 几种数列的求和公式,3.3 卷积和,任意离散序列 可以表示为：,一、卷积和,称为序列 和 的卷积和。,上式表明，LTI离散系统对于任意激励 的零状 态响应是激励与单位序列响应 的卷积和。,一般而言，若有两个序列 和，和式 称为 和 的卷积和，简称卷积。表示为,例3.3-1 如,解：,显然，上式中,作图法求卷积和的步骤：,（1）将序列 的自变量用 代替，然后 将序列 以纵坐标为轴反转，成为。,（2）将序列 平移 个单位，成为。,当 时，右移 个单位。,当 时，左移 个单位。,总之，
4、原点处的序列值移到 点。,二、卷积和的图示,（3）讨论k的区间，并求乘积之和。,解：画出序列,讨论k的区间，并求,当 时，,当 时，,当 时，,当 时，,当 时，,依此可得,*一个M点序列与一个N点序列卷积，其卷积的长度为M+N-1。,可见，求和符号内f1(i)的序号i与f2(k-i)的序号(k-i)之和恰好等于k,如果将各f1(k)(k=0,1,2,)的值排成一行，将各f2(k)(k=0,1,2,)的值排成一列，如图3.3-3所示在表中各行与列的交叉点处，记入相应的乘积.,可以发现，沿斜线（虚线）上各项f1(i)f2(j)的序号之和也是常数，与两因果序列卷积和公式 相同。沿斜线上各数值之和就是卷积和。,图3.3-3,f1(k),f2(k),f1(0),f1(1),f1(2),f1(3),f2(0),f2(1),f2(2),f2(3),f1(0)f2(0),f1(0)f2(1),f1(0)f2(2),f1(0)f2(3),f1(1)f2(0),f1(1)f2(1),f1(1)f2(2),f1(1)f2(3),f1(2)f2(0),f1(2)f2(1),f1(2)f2(2),f1(2)f2(3),f1(3)f2(0),f1(3)f2(1),f1(3)f2(2),f1(3)f2(3),将例3.3-2的f1(k)、f2(k)的各值排列如图3.3-4所示,
