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1、,几何与代数,主讲:王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,第6章 二次型与二次曲面,第1节二次型,一.二次型及其矩阵表示,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,f(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+2an1,nxn1xn,n元实二次型,aij=aji,n aijxixj i,j=1,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,n f(x1,x2,xn)=aijxixj i,j=1,xTAx,f 的矩阵,A的二次型,f 的秩:r(A),r(f),6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,n f(x1,x2,xn)=aij
2、xixj i,j=1,k1y12+k2y22+knyn2,?,f 的标准形,(y1,y2,yn),=,k1 0 0 0 k2 0 0 0 kn,y1 y2 yn,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=g(y),寻求可逆矩阵P,使得,寻求可逆的线性变换x=Py,使得,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,二.用正交变换化实二次型为标准形,定理6.1.(主轴定理)对于任何一个n元实二次型f=xTAx,都有正交变换x=Qy,使f化为标准形 f=1y12+2y22+nyn2,其中1,2,n为A的n个特征值,Q的列向量就是A的对应的n
3、个单位正交特征向量.,正交变换下的标准形,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,例1.用正交变换将二次型 f(x1,x2,x3)=x12+x22+x322x1x3 化为标准形.,|EA|=(1)(2).所以A的特征值为1=0,2=1,3=2.代入(EA)x=求得对应的特征向量 1=1,0,1T,2=0,1,0T,3=(1,0,1)T.它们是两两正交的.,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,把它们单位化可得正交矩阵,令x=Qy,得该二次型的标准形为,=yT y=y22+2y32.,f=xTAx=(Qy)TA(Qy)=yT(QTAQ)y,0 0 00 1 00 0 2,第六章 二次型与二
4、次曲面,6.1 二次型,三.用配方法化实二次型为标准形,例3.用配方法化f=4x12+3x22+3x32+2x2x3为标准形.,解:f=4x12+3x22+3x32+2x2x3,令,则 f=4y12+3y22+(8/3)y32.,P,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,四.惯性定理与规范形,主轴定理告诉我们，对于实二次型f(x)=xTAx，存在正交变换将其化为标准型 f=1y12+2y22+nyn2；配方法告诉我们，对于实二次型f(x)=xTAx，存在一个或多个可逆线性变换(可以非正交)将其化为标准型 f=k1y12+kmym2,问：1,2,n与
5、 k1,k2,km有何关系？,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,定理6.2.实二次型f(x)=xTAx总可以通过Rn 中的可逆线性变换将其化为标准形 f=k1y12+knyn2 其中k1,kn中非零的个数r=秩(f),且 正项的个数p与负项的个数q(p+q=r)都 是在可逆线性变换下的不变量.,1.惯性定理,从矩阵角度来理解定理6.2：对于实对称阵A，存在可逆阵(正交阵)Q使得 QTAQ=,那么k1 kn与1 n 的非零元个数及正负数个数是一样的,都等于A的秩和正负惯性指数.,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,如果还存在某个可逆矩阵P使得 PTAP=.,第六章 二次型与二次曲面
6、,6.1 二次型,推论6.1.实二次型f(x)=xTAx总可以通过Rn中 的可逆线性变换将其化为规范形 且规范形是唯一的(按正项,负项,零项排列).,注：推论6.1和6.2可以分别被证明，也可互推.,交换第一三列,交换第一三行,如果从矩阵的角度证明推论6.2，下述例题隐含着一些思路.,例6.设A=，N=，证明：存在可逆矩阵P使得 PT A P=N.,-4 0 00 0 00 0 3,1 0 00-1 00 0 0,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,-4 0 00 0 00 0 3,0 0 30 0 0-4 0 0,3 0 00 0 00 0-4,3 0 00-4 00 0 0,P(2,
7、3)P(1,3)AP(1,3)P(2,3),=,3 0 00-4 00 0 0,P(2,3)P(1,3)AP(1,3)P(2,3),1/0 00 1/2 00 0 1,1/0 00 1/2 00 0 1,=,1 0 00-1 00 0 0,P,PT(此处不等于P-1),第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,定义:对于方阵A,B,若存在可逆矩阵P,使得 PTAP=B,则称A与B合同，记为A B.,易见,矩阵间的合同关系满足 反身性:A A;对称性:A B B A;传递性:A B,B C A C.即矩阵间的合同关系是一种等价关系.,二次型f(x)二次型g(y),x=Py,A B=PTAP,定理
8、6.1.设n阶实对称矩阵A与对角阵合同.,Q为正交阵，QT=Q-1,进一步，由推论6.2可得n阶实对称矩阵A与下列对角阵合同,Ep,Eq,O,(p,q分别为A的 正负惯性指数),第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,思考：n阶实对称矩阵A还会与什么样的 对角阵合同？,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,推论6.3 两个n阶实对称矩阵A和B合同 它们具有相同的秩和正惯性 指数.,A与B具有相同的规范形,注：,n阶实对称矩阵A和B合同,A与B具有相同的秩和正惯性指数,由秩和惯性指数的定义可得,第六章 二次型与二次曲面,6.1二次型,五.二次型的正定性,1.定义:,设实二次型f(x)=xT
9、Ax 满足对Rn中任何 非零向量x,有f(x)0,则称之为正定二 次型,称A为正定矩阵.若对Rn中任何非零向量x,有f(x)0,则 称之为负定二次型,称A为负定矩阵.,2.性质,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,(0,1,0),=di,=(0,di,0),i,命题1.diagd1,dn正定 i,di 0.,命题1.二次型 f=d1y12+d2y22+dnyn2是正定的 当且仅当 d1,d2,dn全大于零.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,(x1,xn),=d1x12+dnxn2,命题1.diagd1,dn正定 i,di 0.,命题1.二次型 f=d1y12+d2y22+dny
10、n2是正定的 当且仅当 d1,d2,dn全大于零.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,x,Px,(Px)TA(Px)0,xT(PTAP)x 0,命题2.可逆线性变换不改变二次型的正定性.,命题2.A正定,P可逆 PTAP正定.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,3.判定,Ann正定,PTAP=diagd1,dn,P可逆,d1,dn 0,A的正惯性指数=n,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,3.判定,Ann正定,A的正惯性指数=n,QTAQ=diag1,n,Q正交,1,n 0,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,3.判定,QTAQ=,=E,Ann正定,A的正惯性指数
11、=n,A的特征值1,n 0,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,3.判定,E与A合同,Ann正定,A的正惯性指数=n,A的特征值1,n 0,A与单位矩阵E合同,可逆阵P使得PTEP=A,可逆阵P使得A=PTP,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,3.判定,Ann正定,A的正惯性指数=n,A的特征值1,n 0,A与单位矩阵E合同,可逆阵P使得A=PTP,x,Px,xTAx=xT(PTP)x=(Px)T(Px)=|Px|2 0,A正定,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,Ann正定,A的正惯性指数=n,A的特征值1,n 0,A与单位矩阵E合同,可逆阵P使得A=PTP,定理6.4.
12、设A为n阶实对称阵,则下列条件等价:,(1),(2),(3),(4),(5),(即x xTAx 0),|A|=1n,或|A|=|PTP|,=|PT|P|,=|P|P|,推论 6.4.设 A 是正定矩阵,则|A|0.,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,例7.同阶正定矩阵A,B的和A+B仍为正定矩阵.,例8.设实对称矩阵A满足A23A+2E=O,证明 存在可逆矩阵P,使得A=PTP.,证明:设为A的一个特征值,则23+2=0,故=1或2,因此A的特征值均大于零.,所以A是正定的.所以存在可逆矩阵P,使得A=PTP.,xT(A+B)x=,xTAx+xTBx,第六章 二次型与二次曲面,6.1
13、二次型,例9.设A是正定的n阶实对称矩阵,证明A+E的 行列式大于1.,证明:因为A是正定的n阶实对称矩阵,所以|A+E|=(1+1)(n+1)1.,所以A的n个1,n均大于零.,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,定理6.5.n阶实对称矩阵A是正定矩阵的充分 必要条件是A的各阶顺序主子式,1=a11,均大于零.,n=|A|,故A不是正定的.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,例10.若f(x1,x2,x3),=x12+x22+5x32+2ax1x2 2x1x3+4x2x3,是正定的,求a的取值范围.,解:f(x1,x2,x3)的矩阵A=,f(x1,x2,x3)是正定的,1 a
14、1 a 1 2 1 2 5,的顺序,主子式1=1 0,3=|A|=a(5a+4).,1a2 0,a(5a+4),4/5 a 0.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,例11.设A,B都是实对称矩阵,M=,A O O B,证明:M正定 A,B都正定.,证明:(),M正定,x,y,0,0,A,B都正定.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,例11.设A,B都是实对称矩阵,M=,A O O B,证明:M正定 A,B都正定.,证明:(),设P1AP=,M正定 1,s,1,t 0,A,B都正定.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,例11.设A,B都是实对称矩阵,M=,A O O B,
15、证明:M正定 A,B都正定.,证明:(),设A为s阶的,则当i s时,M正定 M的顺序主子式 0,A,B的顺序主子式 0,A,B,O,O,M的i阶顺序主子式,=A的i阶顺序主子式,当i s时,M的i阶顺序主子式,=|A|B的is阶顺序主子式,A,B都正定.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,例11.设A,B都是实对称矩阵,M=,A O O B,证明:M正定 A,B都正定.,证明:(),因为A,B都正定,PTAP=E,QTBQ=E,所以存在可逆阵P,Q使,因而M正定.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,例11.设A,B都是实对称矩阵,M=,A O O B,证明:M正定 A,B都正定.,证明:(),因为A,B都正定,A=PTP,B=QTQ,所以存在可逆阵P,Q使,因而M正定.,作 业,习题六(B)12,14-20 上交时间：2系-12月31日（周四）4系和10系-12月31日（周四）,
