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1、,杨涤尘,第一讲 几何解题途径的探求,第一讲 几何证明的方法与技巧,概述,解决几何问题就是寻求条件和结论之间的逻辑通道。解决几何问题的过程是人的复杂的思维活动。因此，通过解决几何问题能使我们思维水平的提高。思维水平的提高源自我们对问题的认识，因此我们要寻求解题途径的探求方法。平面几何问题种类繁多，变化多端，这对解决者提出了高的要求。但是，只要我们在解决问题过程不断总结规律，注意问题的特征，采用一定的方法和手段，把陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题，那么我们也会很好地解决问题。概括地说，解决几何问题，我们需要对问题的条件（包括隐含的条件）、图形的特点和该问题与其它问题的联系作全面地考查，这样
2、才能较好地发现解题途径。,1.直接证法:推理的每一步,都是从题设条件或已推得的,的结论出发,根据已知的定义、公理、定理等,运用推理规,则,推出新的结论,直到命题所需的结论为止.,按照在证明中对论题的取舍不同，论证方法可分为直接证法和间接证法两种。,一 恰当地选择证法,直接证法。直接从所给的论题下手，利用论据证明论题的正确性进行推理。几何中多数命题是采用这种方法证明的。,例1 已知P,Q,R依次是ABC的外接圆的,的,中点,PR交AB于D,PQ交AC于E.求证:DE=BD+CE.,Q,P,R,A,B,C,D,E,I,证 由于,所以,BAP=CAP.,连接AR,AQ,和DI,则,DRI=CAI=D
3、AI,故A,R D,I四点共圆.因此,DRI+AQP=180o.,同理可证A,Q,E,I四点共圆,所以AIE+AQP=180o.,而ARP+AQP=180o.,故AID+AIE=180o.,所以D,I,E三点共线.,又ADI=ARC=ABC.,所以DE/BC.,因此ECI=ICB=EIC,DBI=IBC=DIB.,从而BD=DI,CE=IE.,故DE=BD+CE.,间接证法实际就是由证明反论题的谬误而达到证实论题的正确性。如果在推理过程中反论题被否定，那么就可以断定原来的论题是正确的。初等几何中的间接证法主要有反证法、同一法两种。,2.间接证法:否定结论,即承认结论的反面成立,结合题设,条件,
4、进行逻辑推理,导致与已知条件或与公理、定义、定,理相矛盾或前后矛盾的情形,从而间接证明结论成立.,例2在ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于H，求证：AD与BE不能被点H互相平分。,证：假设AD、BE被交点H互相平分则ABDE是平行四边形。AEBD，即ACBC这与AC、BC相交于C点矛盾，故假设AD、BE被交点H平分不能成立.所以AD与BE不能被点H互相平分。,（1）反证法,“原命题真确，它的逆命题不一定真确，反之亦然”.一般而言，如果一个命题的条件和结论都是唯一的，即它们所指的概念的对象都是唯一的，那么这个命题和它的某一个逆命题等价。这个性质叫做同一法则。同一法则就是同一法
5、的逻辑根据。,如果一个命题不易直接证明，而且它又符合同一法则，那么我们可以不去直接证明这个命题的正确性，而去证明它的逆命题的正确性，然后根据同一法则，肯定原命题的正确性。这种证题方法叫同一法。,（2）同一法,同一法一般用于初等几何证明图形具有的某种性质，而且这个命题又符合同一法则。用同一法则证明题目时它的步骤是：作图：作出具有某种性质的图形；证明：证明所作图形符合已知条件；判断：根据图形的唯一性，判断所作图形与已知图形重合；结论：肯定命题的结论正确。同一法均可改用反证法。,例3 已知四边形ABCD中,ABD=ADB=15o,CBD,=45o,CDB=30o,求证ABC是正三角形.,图5.1.3
6、,证 如图5.1.3,在射线BC上截取,E,使BE=BA,连AE,DE,则ABC,=15o+45o=60o,ABE是正三角形,故,BAE=60o,AE=AB,又因为 BAD=180o-(15o+15o),=150o,AD=AB,故 EAD=150o-60o=90o,AD=AE,即AED是等腰直角三角形,EDA=45o.,但由已知,CDA=30o+15o=45o,且DC、DE在DA的同侧,因而射线DC与DE重合,它们与BC的交点C和E也重合.,而ABE是正三角形,故ABC也是正三角形.,二 及时地变更问题,问题总是在转化中完成的。解题常常是将陌生的问题转化为熟悉的问题。主要的形式表现为：推理运算
7、化（几何关系转变为代数关系，三角关系），几何关系的转化（比如线段关系变为面积关系、边的关系转化角的关系），弱化关系转化强化关系，一般关系转化特殊关系，正面关系转化为反面关系，几何关系转化为向量关系等。,下面主要介绍：代数法与三角法,例题选讲,例1 设P是正ABC的外接圆BC弧上的一点，求证：（1）PBPCPA；（2）PBPCPA2AB2。,分析：问题变更为一元二次方程的根的问题。,有两个根,故,例2 过三角形ABC内一点O引三边的平行线，,点D,E,F,G,H,I,都在三角形ABC的边上，S1表示六边形,DEFGHI的面积，S2表示三角形ABC的面积，求证：,A,B,C,O,G,D,I,F,E
8、,H,只要证,设,同理,从而,由柯西不等式，有,即,例3 设四边形ABCD内接于圆，另一个圆的圆心O在AB边上，且于四边形的其余三边均相切。求证：ADBCAB。（IMO26，1985年）,例3,G,E,D,A,B,C,o,r,有些几何问题,由于题设条件与结论中所涉及的 一些,几何元素的位置关系分散,不易找出题设条件与结论的,联系.这时可根据图形的特点及问题的需要,将图形或其,部分施行某种初等几何变换.以便把分散的条件集中起,来,在施行变换的图形中沟通题设条件与结论的关系.,三 适时地变换图形,1.平移变换,例1“风平三角形”中，AA=BB=CC=2，AOB=BOC=60。如图求证：AOB+BO
9、C+COA。,例2 已知ABC的面积为S,D,E,F分别为BC,CA,AB边,上的点,且,求以AD,BE,CF为边的三角形面积S.,F,A,B,C,E,D,G,A,解 如图,将AD作为以,则ADCA为平行四边形.连AF,AE,并设AE的延长线交BC,为平移向量的平移变换至AC,于G,则,故 CG=BD,从而BG=DC=AA,即四边形ABGA也是平行,四边形,有ABAG,因而由于已知,已知,所以,由更比定理,又,故更比定理有,故,所以GE=AF,从而AE=BF,于是 AE/BF,且 AE=BF.,即四边形BE AF也是平行四边形,BE=AF,因而 ACF,是以AD,BE,CF的长为边的三角形.设
10、ABC的边BC的,高为h,则,即,h,所以,h,H,x,由于,所以,所以,故,例 3 在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。,1.定义 设是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O仍变到O（不动点），而把平面图形F上任一点X变到X，使得OX=OX，且XOX=，则R叫做绕中心O，旋转角为的旋转变换。记为XX，图形FF。其中0时，为逆时针方向。2.主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。,2.旋转变换,例3 如图(1),ABC和ADE是两个不全等的等腰直角,三角形现在固定ABC,而将ADE绕A点在平面上旋转,试证:不论ADE旋转到
11、什么,使BMD为等腰直角三角形.,位置,线段EC上必存在点M,使,图(1),E,A,B,C,D,M,B,证明 如图(2)所示,将DAB,图(2),作以D为旋转中心,90o为旋转,角顺时钟方向旋转至DEB,则由旋转变换的性质,ABEB且AB=EB,但ABBC且AB=BC,故BC/EB且BC=EB.,连BE,CB,则BE B C是平行四边形,设EC的中点为M,则BB,EC互相平分于M.,又 DB DB,故DM BM,为等腰直角三角形.,且DM=BM,所以BMD,2.对称变换,【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更，以便于比较它们之间的大小。,例2 在锐角三角形的类接三角形中，以垂足三角形的周长为最短。本题就是著名的Schwarz三角形问题。,谢谢,
