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1、,观 察,观 察,24.3 正多边形和圆,正多边形定义：,各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.,想一想,正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.,正多边形与圆的关系,如图,把O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE.,AB=BC=CD=DE=EA,A=B.,同理B=C=D=E.,又五边形ABCDE的顶点都在O上,五边形ABCDE是O的内接正五边形,O是五边形ABCDE的外接圆.,1：我们以圆内接正五边形为例证明.,弧相等,多边形是正多边形,弦相等（多边形的边相等）,圆周角相等（多边形的角相等）
2、,2.各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如果不是,举出反例.,答：各边相等的圆内接多边形是正多边形.,多边形A1A2A3A4An是O的内接多边形,且A1A2=A2A3=A3A4=An1An,多边形A1A2A3A4An是正多边形.,2.各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如果不是,举出反例.,答：各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形.,3.正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.,1.正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.,2.正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径.,4.中心到
3、正多边形的一边的距离叫 做正多边形的边心距.,有关概念,.,O,中心角,A,B,G,2.边心距把AOB分成两个全等的直角三角形,3.设正多边形的边长为a,半径为R,R,a,重要结论:,（,它的周长为lna.,4.正n边形的一个内角的度数是_;中心角是_;5.正多边形的中心角与外角的大小关系是_.,相等,重要结论:,6.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。,注意：边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。,例1.有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).,O,A,B,C,D,E,F,R,P,r
4、,例1.有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).,解:如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于，OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.,因此,亭子地基的周长:,l=46=24(m).,在RtOPC中,OC=4,PC=,由勾股定理,得边心距：,亭子地基的面积：,O,A,B,C,D,E,F,R,P,r,2.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.,A,B,C,D,O,2.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.,解：作等边ABC的BC边上的高AD,垂足为D,连接OB，则OB=R,在RtOB
5、D中 OBD=30,边心距OD=,在RtABD中 BAD=30,A,B,C,D,O,2.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.,A,B,C,D,O,E,解：连接OB，OC 作OEBC垂足为E，OEB=90 OBE=BOE=45,在RtOBE中为等腰直角三角形,A,B,C,D,O,E,1.矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么?,矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;,菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;,正方形是正多边形因为四条边都相等，四个角都相等.,答：,练习,2.O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE的_，它是正五边形A
6、BCDE的_圆的半径。,3.AOB叫做正五边形ABCDE的_，它的度数是_.,边心距,内切,中心角,72,问题1：已知O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.,120,用量角器度量，使AOB=BOC=COA=120 用量角器或30角的三角板度量，使BAO=CAO=30,A,O,C,B,正多边形的画法,问题2：你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？,A,B,C,D,O,A,B,C,D,E,O,O,A,B,C,D,E,F,90,72,60,问题3：你能尺规作出正四边形、正八边形吗？,A,B,C,D,O,只要作出已知O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与O相交，或作各
7、中心角的角平分线与O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形,问题4：用尺规作正六边形、正三角形、正十二边形,O,A,B,C,E,F,D,以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形,正五边形的画法,A,B,C,D,M,N,正五边形的画法,1、判断题。各边都相等的多边形是正多边形。（）一个圆有且只有一个内接正多边形。（）,达标检测,2.菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？,3.（2009江苏中考）已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半
8、径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm（结果保留),）,2,4.若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为_.,5.如图，有一个圆O和两个正六边形T1,T2 T1 的6个顶点都在圆周上，T2 的6条边都和圆O相切（我们称 T1,T2 分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）.设 T1,T2的边长分别为a、b，圆O的半径为r,求r：a及r：b的值。,解：连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形.所以ra=11;,连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，所以rb=,6.求证：顺次连结正六边形各边中点所得的多边形是正六边形。,A,B,C,D,E,F,如图：圆
9、O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是,圆周角是.,600,或1500,300,1.填空题,达标练习,前两单元习题,已知A、B、C三点在圆O上，连接AB、CO，如果AOC=140，则 B=_,平面上一点P到圆O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则圆O的半径为.,D,2cm,或4cm,110,如图：AB是圆O的直径，BD是圆O的弦，延长BD到点C，AC=AB，BD与CD的大小是_.,拓展：若B=70,则DOE=,E,40,相等,如图，I是ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，DEF50，则A=_.,80,2.怎样要将一个如图所示的破镜重圆？,A,B,C,P,3.如
10、图，AB是O的任意一条弦，OCAB，垂足为P，若CP=7cm，AB=28cm，你能求出这面镜子的半径吗？,O,7,14,5.如图，AB是O的弦，OCOA交AB于点C，过点B的直线交OC的延长线于点E，当CE=BE时，直线BE与O有怎样的位置关系？并证明你的结论,7.如图,AB是圆O的直径,圆O过AC的中点D,DEBC于E求证:DE是圆O的切线.,8.如图，O是CAE平分线上的一点，以点O为圆心的圆和CAE的两边分别交于点B、C和D、E，连结BD、CE.求证：(1)BC=DE(2)AC=AE(3)DBCE.,【解析】(1)要证弧相等，即要证弦相等或弦心距离相等，又已知OA是CAE的平分线，联想到角平分线性质，故过O分别作OGAC于G，OHAE于H，OG=OHBC=DE(2)由垂径定理知：BC=DE，G、H分别是BC、DE的中点.再由AOGAOHAG=AHAB=AD AC=AE.(3)AC=AEC=E，再根据圆的内接四边形的性质定理知C=ADBE=ADBBDCE.,
