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1、1,1-3 基本初等函数与初等函数,2,1、函数的基本性质：,2、复合函数的合成与分解,复习,3,第三节 基本初等函数与初等函数,一、基本初等函数,1.常值函数,常值函数y=C,其中C为常数其定义域为(-,+).其函数图形为平行于x轴的直线.,4,2.幂函数,函数 称为幂函数.,无论为何值,函数在(0,+)内总是有定义的.,5,指数函数的定义域是(,+)图象通过点(0,1),且总在x轴上方.当a1时,函数是单调增加的；当0a1时,函数是单调减少的,3.指数函数,函数称为指数函数.,以常数e=2.71828182为底的指数函数 y=ex是科技中常用的指数函数,6,4.对数函数,对数函数的定义域为
2、(0,+),图象过点(1,0).当a1时，函数单调增加；当0a1时，函数单调减少,指数函数y=ax的反函数,记作 y=logax(a是常数且a0,a0)称为对数函数.,7,科学技术中常用以e为底的对数函数y=logex,它被称为自然对数函数，简记作 y=lnx另外以10为底的对数函数y=log10 x,也是常用的对数函数，简记作y=lgx.,8,5三角函数,常用三角函数有正弦函数 y=sinx;余弦函数 y=cosx;正切函数 y=tanx；余切函数 y=cotx;正割函数y=secx；余割函数y=cscx.其中自变量以弧度作单位来表示,9,正弦函数和余弦函数都是以2为周期的周期函数，它们的定
3、义域都为(-,+),值域都为-1,1正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数,10,正切函数 的定义域为,余切函数 的定义域为,正切函数和余切函数的值域都是(,+),且它们都是以为周期的函数，它们都是奇函数.,11,12,正割函数y=secx;余割函数y=cscx.它们都是以2为周期的周期函数，且,13,6.反三角函数,反三角函数是各三角函数在其特定的单调区间上的反函数.,(1)正弦函数y=sinx的反函数,限定选择区间.,因为上式不太合呼大家的习惯,所以常做变量的更换,得,14,6.反三角函数,反三角函数是各三角函数在其特定的单调区间上的反函数.,(1)反正弦函数y=arcsinx是正弦函数y=s
4、inx在区间 上的反函数其定义域为-1,1值域为,(2)反余弦函数yarccosx是余弦函数y=cosx在区间0,上的反函数其定义域为-1,1,值域为0,.,15,(3)反正切函数y=arctanx是正切函数y=tanx在区间 内的反函数其定义域为(,+),值域为,(4)反余切函数y=arccotx是余切函数y=cotx在区间(0,)内的反函数，其定义域为(,+),值域为(0,).,16,常函数，幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,和反三角函数统称为基本初等函数.,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和,定义：,如：,有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子,表示的函数,称为初等函数.,二
5、、初等函数,但,是复合函数.,呢？,17,第四节 经济学中常见的函数,一、需求函数与供给函数,二、成本函数,三、收益函数,四、利润函数,五、其它函数,18,商品的需求量与其价格之间的函数关系.,价格即是指商品的销售价格,常用字母 P 来表示.即Q=f(P),商品的需求量:消费者具有购买该商品的欲望和能力的商品的数量,常用字母 Q 表示.,1、需求函数,一、需求函数与供给函数,19,一般说来，商品价格低，需求量就大，商品价格高，需求就小，因此需求函数 Q=f(P)为单调减少函数，它的图形称之为需求曲线如图.,20,2、供给函数,供给指在一定价格条件下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量。供给也
6、是由多种因素决定，这里略去价格以外的其它因素,只讨论供给与价格的关系。设 P 表示商品价格,S 表示供给量,那么把 S=S(P)称之为供给函数。,一般说来，商品价格低，生产者不愿生产，供给少；商品价格高，供给就多，因此供给函数一般为单调增加函数。供给函数的图形也称之为供给曲线(如图)。,21,在应用时，供给函数也可由一些简单初等函数去近似。如,22,均衡价格:若市场上某种商品的供给量与需求量相等,这时称这种商品的供、需达到了平衡,此时 该商品的价格称为均衡价格.常记为.,此时，,23,设该产品的线性需求函数为,解：,解得:,由问题设有：,从而可求需求量函数为:,例1：某种产品每台售价500元时
7、,每月可销售1500台,每台售价降为450元时,每月可增销250台,试求该产品的线性需求函数.,24,成本函数指的是产品的总成本和产量之间的关系。某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部 经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或费用总 额。它由固定成本与可变成本组成。,二、成本函数,总成本=固定成本+可变成本,固定成本:固定不变的成本,该成本不随产量的变化而变化.例如:厂房,机器设备,管理费用等.,可变成本:可以变化的成本,该成本会随产量的变化而变化.例如:购买原料的费用,工人的生产奖金等.,25,一方面,可以想象,生产产量越大,成本就越高,因而为增函数,一般地,成本函数的图形大致类同
8、于下图.,即平均成本(单位成本)=,26,例2 已知某产品的总成本函数为 C(Q)=200+5Q+0.5Q2求:(1)固定成本;(2)产量Q=20时的总成本;(3)平均成本;(4)产量Q=20时的平均成本.,解：(1)固定成本即C(0)=(200+5Q+0.5Q2)Q=0=200,(2)即求C(20)=(200+5Q+0.5Q2)Q=20=500,(3)平均成本,(4)即求,27,三、收益函数,收益函数R(Q)表示出售产品的数量为 Q 时的总收 益。若用P表示价格，则 R(Q)=PQ.如果产品价格为一常数 P,此时,R(Q)的图形是一 条直线,但实际情况是销售量 Q 大到一定程度,由 于市场的
9、调节,价格就会下降,因而R(Q)的图形一般 应具有如下的形状。,若用 表示平均收益,则,28,四、利润函数,利润函数是总利润和产量 Q 之间的关系,记 为L(Q).在经济学中一般认为生产的产品总能销售 出去,而且成立一个重要关系是,总利润=总收益 总成本,把总收益和总成本都看成是产量 Q 的函数，有,利润函数=收益函数 成本函数,29,L(Q)=R(Q)-C(Q)当R(Q)C(Q)时,厂商盈利；当R(Q)C(Q)时,厂商亏损；当R(Q)=C(Q)时,厂商不赔也不赚，当产量Q0使得R(Q0)=C(Q0),即L(Q0)=0时,称Q0为盈亏临界点或保本点,30,例3 设某产品的固定成本为100万元,
10、每生产1百件成本就增加4万元,已该商品市场前景看好,即产品可以全部销售出去,又知其需求量函数为 试求其总利润函数,解 总成本,总收益为,所以总利润为,31,例4：某商品的成本函数与收入函数分别为C=21+5q,R=8q,求该商品的盈亏平衡点解：盈亏平衡点即使利润为零的产量值。故L(q)=R-C=8q-(21+5q)=3q-21=0 即q=7,32,例5 设有一块边长为 a 的正方形薄板,将它的四角 剪去边长相等的小正方形制作一只无盖盒子,试将盒 子的体积表示成小正方形边长的函数(如下图).,解,设剪去的小正方形的边长为 x,盒子的体积为V,则盒子的底面积为,高为 x,因此所求的函数,关系为,五、其它函数,33,例6：戈珀兹(Gompertz)曲线,戈珀兹曲线是 在经济预测中,经常使用该 曲线。,当 lg a 0 且无限增大时,其无限与直线 y=k 接近,且始终位于该直线下方。在产品销售预测 中,当预测销售量充分接近到 k 值时,表示该产品在商 业流通中将达到市场饱和。,34,1、基本初等函数和初等函数,2、常用的经济学函数,小结,作业：P28：1.,P29：6.,预习：从31页到37页.,
