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1、力学期末总复习指导,试题类型,基本知识,复习重点,习题剖析,结束演示,力学课程全部结束，预祝大家取得优异成绩！,在复习期间有问题，可到我家（21号楼3单元302室）求助。联系电话：3290503（宅），（手机）,试题类型及解答要点,题型：判断题，选择题，填充题，这些客观题考核大家对基本概念、基本规律的记忆、理解，并保证知识考核的覆盖面；计算题，考核大家应用基本知识分析解决实际问题的能力。解答计算题时，应写出必要的文字说明，画出必要的示意图；即使不能完整解答，只要写出有关的方程，也可得一定分数。考题中，一般只涉及正弦函数、余弦函数和幂函数等简单函数的求导和积分计算 在考试中，自己携带科学计算器,
2、复习范围复习重点,打*内容，1章、11章、12章内容，完全不考重点章节：2章、3章、4章、5章、6章、7章、9章、10章的大字部分基本知识，可按每章的基本知识小结进行复习重点例题：2.6 例题1，2.6 例题2，4.5 例题1，5.2 例题1，7.4例题2，7.5例题1重点习题（50）：；,牛顿运动定律,动量定理,角动量定理,动能定理,机械能定理A外+A非保内,角动量守恒定律外力矩为零，则,动量守恒定律外力为零，则,机械能守恒定律只有保守力做功则,基本概念惯性系、力、惯性质量引力质量,质点运动学,Ep=-A保,力学的知识结构,力学的基本方法,把研究对象、研究过程理想化的方法,非惯性系的运用：引
3、入了相应的惯性力后，所有动力学 规律都可以在非惯性系中应用 加速平动参考系中的惯性力：匀速转动参考系中的惯性力：,质点系的一般运动=质点系随质心坐标系的平动+质点系绕质心坐标系的转动,质心参考系的运用 质点系质心和质心运动定理,坐标系的运用：选择适当坐标系，把矢量转化为标量的 方法（直角坐标系、自然坐标系、极坐标系）,基本参考系与运动参考系:,力学的典型问题,碰撞力学问题,刚体力学问题,弹性力学问题,流体力学问题,振动力学问题,波动力学问题,碰撞力学问题,完全弹性碰撞 e=1，完全非弹性碰撞 e=0对于斜碰,可在球心连线方向上应用牛顿碰撞公式,u 为二质点相对速率,质点系动能：,刚体力学问题,
4、刚体对轴的角动量和转动定理：,刚体的转动动能和重力势能：,刚体的平面运动=随质心系的平动+绕质心系的转动,弹性力学问题,弹性体的基本形变有拉压形变和剪切形变，弯曲是由 程度不同的拉压形变组成，扭转是由程度不同的剪切 形变组成,形变势能密度：,应力是单位面积上作用的内力;若内力与面元垂直叫正 应力,用表示;若内力在面元内叫切应力,用表示,应变就是相对形变；线应变；切应变用切变 角表示,胡克定律：应力与应变成正比；,振动力学问题,物体在线性回复力或回复力矩 作用下的运动就是简谐 振动,动力学方程为 运动学方程为 x=Acos(0t+)；弹簧振子02=k/m，单摆02=g/l 扭摆02=C/I,0=
5、2/T=2v,A和由初始条件决定,弹簧振子的总机械能：,两个简谐振动的合成,波动力学问题,平面简谐波方程,弹性波波速仅取决于弹性媒质的性质,波的平均能流密度（波强）,波由波密射向波疏,反射波在边界处无半波损失,如自 由端反射；波由波疏射向波密,反射波在边界处有半 波损失，如在固定端反射,振幅相同、传播方向相反的两列相干波叠加产生驻波 现象；波节两边质元振动相位相反，两个波节之间质 元振动相位相同；相邻波节或相邻波腹间距离为/2,相邻波腹波节间距离为/4,流体力学问题,理想流体是不可压缩、无粘性的流体；稳定流动 是空间各点流速不变的流动,静止流体内压强分布:,连续性方程：不可压缩流体稳定流动时，
6、沿一流管，流量守恒，即,伯努力方程：理想流体稳定流动时，沿一流线，,典型习题剖析,第2章,第3章,第4章,第5章,第6章,第7章,第8章,第9章,第10章,第11章,质点运动学方程为.求质点轨迹；求质点自t=0至t=1的位移.,大小：,方向：,2.3.4 直线运行的高速列车在电子计算机控制下减速进站。列车原运行速率为 v0=180km/h，其速率变化规律如图所示。求列车行至x=1.5km时的加速度,将v0=180km/h,x=1.5km 代入,解：直线运动，已知速度求加速度，求导问题，注意技巧。,2.4.1 质点从坐标原点出发时开始计时,沿x轴运动,其加速度ax=2t(cms-2)，求在下列两
7、种情况下质点的运动学方程，出发后6s时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。初速度v0=0；初速度v0的大小为9cm/s，方向与加速度方向相反（知加速度求位置，积分问题）,解：,令vx=0，由速度表达式可求出对应时刻t=3，由于3秒前质点沿x轴反向运动，3秒后质点沿x轴正向运动，所以路程：,质点在o-xy平面内运动,其加速为，位置和速度的初始条件为：t=0时，求质点的运动学方程并画出轨迹,解：已知加速度求位置，需要做两次积分，具体求解方法有两种：1 用矢量式做积分；2 用标量式做积分,列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为S=80t-t2（m,s），t=0
8、时，列车在图中O点，此圆弧形轨道的半径r=1500m，求列车驶过O点以后前进至1200m处的速率及加速度,解：S=80t-t2 v=dS/dt=80-2t 令S=1200，由可求得对应时间：,将t=60代入中,v=-40,不合题意，舍去；将t=20代入中，v=40m/s，此即列车前进到1200m处的速率.,棒球质量为0.14kg，用棒击棒球的力随时间的变化如图所示，设棒球被击前后速度增量大小为70m/s，求力的最大值，打击时，不计重力,解：由Ft图可知：,由动量定理：,抛物线形弯管的表面光滑，沿铅直轴以匀角速率转动，抛物线方程为y=ax2，a为正常数，小环套于弯管上。弯管角速度多大，小环可在管
9、上任一位置相对弯管静止？若为圆形光滑弯管，情况如何？,解：以固定底座为参考系，设弯管的角速度为,小环受力及运动情况如图示：为小环处切线与x轴夹角，压力N与切线垂直，加速度大小a=2x，方向垂直指向y轴。在图示坐标下应用牛顿二定律的分量式：,/：tg=2x/g=dy/dx=2ax；,气球下悬软梯，总质量为M，软梯上站一质量为m的人，共同在气球所受浮力F作用下加速上升，当人以相对于软梯的加速度am上升时，气球的加速度如何？,解：设人相对地的加速度为a1，球相对地的加速度为a2,3.8.7 载人的切诺基和桑塔纳汽车质量各为m1=16510kg，和m2=11510kg，各以速率v1=90km/h和v2
10、=108km/h向东和向北行驶，相撞后连在一起滑出，求滑出的速度，不计摩擦,向x轴投影：,向y轴投影：,解：设两车撞后的共同速度为由动量守恒,质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N，木块在A点时具有向右的速率v0=6m/s，求力T将木块从A拉至B点时的速度（显然可用动能定理求解）,解：以A为原点建立图示坐标o-x，木块由A到B，只有拉力T做功：,设木块到达B时的速度为v，由动能定理：,方向向右,两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和弹簧2的劲度系数各为k2,k2，它们自由伸展的长度相
11、差l，坐标原点置于弹簧2自由伸展处，求弹簧组在0 xl和x0时弹性势能的表达式,解：规定两个弹簧处在坐标原点时的弹性势能为零,弹簧2的势能表达式为：,弹簧1的势能：,当0 xl时，,当x0时，,装置如图所示，球的质量为5kg，杆AB长1m，AC长0.1m，A点距o点0.5m，弹簧的劲度系数为800N/m，杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。,解：取球在水平位置时,势能为零,小球运动到竖直位置时的速度为v，弹簧原长：,在小球从水平位置运动到竖直位置的过程中，只有保守内力做功，因而机械能守恒：,（显然可用
12、机械能守恒定律求解）,A,B,C,o,质量为2g的子弹以500m/s的速度射向质量为1kg，用1m长的绳子悬挂着的摆，子弹穿过摆后仍然有100m/s的速度，问摆沿铅直方向升起若干？,解：用v0,v分别表示子弹穿过摆前后的速度，V表示子弹穿过摆后摆的速度,设摆升起的最大高度为h,由动量守恒：,由能量守恒：,（整个过程可看作动量守恒过程和能量守恒过程组成）,一钢球静止地放在铁箱的光滑地面上，如图示。CD长l，铁箱 与地面间无摩擦，铁箱被加速至v0时开始做匀速直线运动，后来，钢 球与箱壁发生完全弹性碰撞，问碰后再经过多长时间钢球与BD壁相碰？,解：以地为参考系,设v1为钢球与AC端碰撞后的速度,v2
13、为铁箱碰撞后的速度,根据牛顿碰撞公式,对于完全弹性碰撞，,碰前接近速度等于碰后分离速度：v0=v1-v2，分离速度v1-v2也就是碰后球相对箱的速度v，所以钢球由AC端运动到BD端所需时间为：,（先把过程搞清楚，为完全弹性碰撞问题）,两车厢质量均为M,左边车厢与其地板上质量为M的货箱共同向右以v0运动，另一车厢以2v0从相反方向向左运动并与左车厢碰撞挂钩，货箱在地板上滑行的最大距离为l，求：货箱与车厢地板间的摩擦系数；车厢在挂钩后走过的距离，不计车地间摩擦。,第二阶段：在摩擦力作用下，两节车厢与货箱均做匀减速运动，发生相对位移l后都静止下来。对质点系应用动能定理：,设在此期间,车箱对地的位移为
14、S1,货箱对地的位移为S2=-l+S1,解：整个过程可分为两个阶段：第一阶段是两个车对撞获得共同速度v（向左）,由动量守恒：,对车厢和货箱分别应用运动学公式：v2-v02=2as,5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中,另一端系一质量为10g小球，沿半径为40cm的圆周作匀速圆周运动，这时从孔下拉绳的力为10-3N,如果继续向下拉绳,而使小球沿半径为10cm的圆周作匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？拉力所做的功是多少？,解：设小球质量为m=1010-3kg,半径R=R1=40cm时，速率为v1，R=R2=10cm时，速率为v2 先求速率v1：据牛顿第二定律，F=mv12/
15、R1，所以,各力对过小孔的竖直轴的力矩为零，小球对该轴的角动量守恒，m v1R1=m v2R2，v2=v1R1/R2=0.20.4/0.1=0.8m/s,在由R1R2的过程中，只有拉力F做功，据动能定理,解：设球B质量m=0.2kg,原来与固定点A的距离r0=0.4m,当速率为v 时,与A点距离r=0.8m，弹性绳自由伸展的长度为d=0.6m球B的速率由v0v 的过程中,作用在球B上的力对A点的力矩之和始终为零,球对A点的角动量守恒,有 r0mv0sin30=rmv,5.1.9 质量为200g的小球B以弹性绳在光滑水平面上与固定点A相连。弹性绳的劲度系数为8 N/m,其自由伸展长度为 600m
16、m.最初小球的位置及速度v0如图所示.当小球的速率变为v时,它与A点的距离最大,且等于800mm,求此时的速率v及初速率v0.,另外,在此过程中能量守恒，,解此方程组，求得：v0 1.3 m/s v 0.33 m/s,将化简,代入已知数据得：,5.2.3 两个滑冰运动员的质量各为70kg,以6.5m/s的速率沿相反方向滑行,滑行路线间的垂直距离为10m,当彼此交错时,各抓住10m绳索的一端，然后相对旋转。在抓住绳索一端之前,各自对绳索中心的角动量是多少？抓住之后是多少？它们各自收拢绳索，到绳长为5m时，各自的速率如何？绳长为5m时，绳内张力多大？二人在收拢绳索时，各自做了多少功总动能如何变化？
17、,解：设每个运动员的质量m=70kg,收绳前对绳中心o的距离为d=d1=5m,速率为v=v1=6.5m/s;当把绳收拢为d=d2=2.5m时,速率v=v2.,对o点角动量L=mv1d1=706.55=2275kgm2/s（抓住绳索前后角动量相同）,把两个运动员视为一个质点系,在收绳过程中,对o轴的角动量守恒,有2m v1d1=2m v2 d2v2=v1d1/d2=6.55/2.5=13 m/s,把人视为质点,由牛二定律，张力 F=m v22/d2=4732 N,由质点动能定理，每人所做的功均为：,总动能增大了Ek=24436=8872 J,某彗星围绕太阳运动，远日点的速度为10km/s，近日点
18、的速度为80km/s。若地球在半径为1.5108km圆周轨道上绕日运动,速度为30km/s,求此彗星的远日点距离,解：设彗星和太阳的质量分别为m,M,远日点和近日点的速度分别为v1,v2,远日点和近日点的矢径分别为r1,r2由角动量守恒，有,由机械能守恒，有,设地球的质量为m,速度为v,对地球应用牛二定律：,将代入中，得与联立，可求得 r1=3108 km,7.3.2 图示实验用的摆，l=0.92m，r=0.08m，ml=4.9kg，mr=24.5kg,近似认为圆形部分为匀质圆盘，长杆部分为匀质细杆。求对过悬点且与盘面垂直的轴线的转动惯量。,解：摆对o轴的转动惯量I等于杆对o轴的转动惯量Il
19、加上圆盘对o轴的转动惯量Ir，即I=Il+Ir.根据平行轴定理,7.3.6 匀质杆可绕支点o转动，当与杆垂直的冲力作用某点A时，支点o对杆的作用力并不因此冲力之作用而发生变化，则A点称为打击中心。设杆长为L，求打击中心与支点的距离,解：建立图示坐标o-xyz,z轴垂直纸面向外,设A为打击中心，据题意,杆受力及运动情况如图所示。由质心运动定理：,由转动定理：,把代入中：,一质量为m1，速度为v1的子弹沿水平面击中并嵌入一质量为m2=99m1，长度为L的棒的端点，速度v1与棒垂直，棒原来静止于光滑的水平面上，子弹击中棒后共同运动，求棒和子弹绕垂直于平面的轴的角速度等于多少？,解：以地为参考系，把子
20、弹和棒看作一个物体系，棒嵌入子弹后作平面运动，可视为随质心C的平动和绕质心C的转动，绕质心C转动的角速度即为所求,据质心定义:,据角动量守恒：,7.5.1 10m高的烟囱因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时的线速度，设倾倒时，底部未移动，可近似认为烟囱为匀质杆,解：据题意，烟囱做定轴转动。设烟囱质量为m,高为h，质心高度 hC=h/2,对转轴的转动惯量：,倒在地面上时的角速度为,由机械能守恒：,上端点到达地面时的线速度：,7.5.2 用四根质量各为m长度各为l的匀质细杆制成正方形框架，可绕其中一边的中点在竖直平面内转动，支点o是光滑的。最初，框架处于静止且AB边沿竖直方向，释放后向下摆动,求
21、当AB边达到水平 时，框架质心的线速度vc及框架作用于支点的压力N.,解：正方形框架对支点o的转动惯量：,据机械能守恒定律：,AB边在水平位置时，框架所受到的支撑力N和向下的重力W的作用线均通过支点o，对o轴的力矩为零，据转动定理，框架的角加速度为零，ac=2l/2=6g/7，方向向上,并可确定N的方向向上,对框架应用质心运动定理：,据牛顿第三定律,支点受到的压力,大小等于N,方向向下,7章例题：如图所示，圆柱体的质量为m，半径为R，在倾角为的斜面上作无滑滚动，求质心加速度和静摩擦力,由解得：,解：圆柱体受力及运动情况如图所示,由于只滚不滑，所以,由质心定理：,对质心轴应用转动定理：,7章例题
22、：质量为m，半径为R的圆柱在高为h的斜面顶端由静止开始无滑滚下，求滚到斜面底端时质心的速率,解：在无滑滚动条件下，只有重力做功，因此可以应用动能定理或机械能守恒定律求解：,质量为1.0103g的物体悬挂在劲度系数为1.0106dyn/cm的弹 簧下面，求其振动的周期；在t=0时，物体距平衡位置的位移为+0.5cm，速度为+15cm/s，求运动学方程。,以平衡位置为原点，建立图示坐标o-x，设运动学方称为,将t=0时，x=0.510-2,v=1510-2代入，有,2+2，可求得 A=6.8910-3m，将A值代入、中得：,所以，运动学方程为：,9.2.12 天花板下以0.9m长的轻线悬挂一个质量
23、为0.9kg的小球。最初小球静止，后另一质量为0.1kg的小球沿水平方向以1.0m/s的速度与它发生完全非弹性碰撞。求两小球碰后的运动学方程,解：设m1=0.9kg,m2=0.1kg,碰前m2的速度为v20=1.0m/s,碰后两球的共同速度为v0.由动量守恒（或角动量守恒）,碰后两球构成一个单摆,圆频率,设运动学方程,将t=0时,x=0,v=0.1代入,得：0=Acos,0.1=-3.3Asin,要同时满足，只有取=-/2；代入得A0.03,所以运动学方程为：,9.2.14 质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm，框架下方有一质量为20g的小球竖直向上飞来，与框架发生完全弹
24、性碰撞，已知小球碰前速度为10m/s，求碰后框架的运动学方程,解：以框架平衡位置为坐标原点，据题意：,设球质量为m,球碰前速度为v0,球碰后速度为v，框架碰后速度为v0,（为代数量）由动量守恒：,由牛顿碰撞公式：,设运动学方程,代入初始条件：,由知=/2，取=/2，代入得：A=0.184,所以，运动学方程为：,由此可求得：,10.2.3 已知平面简谐波的振幅A=0.1cm,波长1m,周期为10-2s,写出波方程（最简形式）.又距波源9m和10m两波面上的相位差是多少？,解：取坐标原点处体元初相为零，o-x轴沿波传播方向，则波方程的最简形式为,（或：因=1m,所以相差为2）,10.2.4 写出振
25、幅为A,频率v=f,波速为V=C,沿o-x轴正向传播的平面简谐波方程.波源在原点o,且当t=0时，波源的振动状态是位移为零，速度沿o-x轴正方向,10.5.4 入射波 在固定端反射，坐标原点与固定端相距0.51m,写出反射波方程.无振幅损失,解：反射波的振幅、频率、波速均与入射波相同,传播方向与入射波传播方向相反,入射波在原点处振动初相为零，设反射波在坐标原点处振动初相为,固定端反射有半波损失，所以,综合以上考虑,反射波方程:,10.7.3 一音叉以vs=2.5m/s速率接近墙壁，观察者在音叉后面听到拍音频率v=3Hz,求音叉振动频率。声速340m/s.,解：设音叉振动频率为f.人从音叉直接听
26、到的频率:,人听到的从墙反射回来的频率（即墙接受到的频率）,即,11.2.6 盛有液体的容器以重力加速度自由下落，求液体内各点的 压强；若容器以竖直向上的加速度a上升，求液体内压强随深度的分布；若容器以竖直向下的加速度a（g）下落，求液体内压强随深度的分布,解：以容器为参考系，设它相对地的加速度为a0.在水深h处取一体元，上、下底面积为ds，高为dh，质量dm=dsdh,受力情况如图所示,规定向上为正，由力平衡方程,容器自由下落，,容器加速上升，,容器加速下降，,11.4.1 容器内水的高度为H，水自离自由表面h深的小孔流出.求水流达到地面的水平射程x，在水面以下多深的地方另开一孔可使水流的水平射程与前者相等,解：可看作理想流体做稳定流动,从水面至小孔取一流线，设水面流速为零,小孔流速为v,由伯努利方程,水在小孔处以速度v作平抛运动，由平抛公式，有,由求得,代入中得,设在水面下h处开一小孔,与h处小孔水平射程相等,即,11.4.5 装置如图所示,出水口堵塞时,竖直管内和容器内的水面在同一高度，打开塞子后，水即流出，视水为理想流体，等截面的水平管直径比筒径小很多，求直管内的液面高度,解：据题意，可把实际问题近似看作理想流体稳定流动,取过1、2、3、4点的流线,由伯努利方程，有,由连续性方程，有,由静止液体压强公式:,
