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1、功利理论的基本概念,什么是决策分析？为什么要决策分析？,大多数工程分析的目的是为制订决策提供信息或者依据。制订工程决策，其范围从简单地选择一项结构中一根柱子的尺寸，到选定一座水坝的坝址，到决定核动力是否是一种适用的能源。,BUT,在工程决策的各个方面，实际上不可避免地存在着各种不确定性。因此，在工程系统的规划与设计中作出任何决策，都要衡量某些风险。而这就是决策分析所发挥的作用。而功利理论，就是决策分析的其中一种方法。,什么是“功利”呢？,一个方案是否可取，这取决于某些因素，如经济价值、时间的因素、声誉、社会接受力、趣味性以及其它。在决策树中，对可行方案的排列次序需要有一种尺度，用于在众多因素之
2、间衡量其满意的程度。对于某些特性，例如经济价值就具有一种良好的测量尺度；可是，对大多数的因素而言，则缺乏明显的方法去衡量它的价值。当决策树的结果需要诸因素组合的评价对价值量度问题则变得更为复杂。为了建立一项统一的尺度来衡量一个方案的总价值可以引进“功利”的概念。对决策者来说，“功利”一词，其含义是价值的真实量度。功利理论提供一种体系，决策者可以用它对价值进行统一的测定，组合和对比。因此如果所有方案功利价值都可得到，则可选取具有最高功利价值的方案。,1功利理论的原理,引入以下的符号来规定两个事件之间的优选程度即：AB 表示A较B为好；AB表示AB之间无差别；AB表示A至少和B一样可取。以下为功利
3、理论的重要法则：(1)次序可排性。AB之间的优先程度可按照向B逐渐增长的优选度的次序进行排列：AB AB AB AB AB,(2)可递换性。如果AB及BC,则AC。(3)连续性。如果ABC，应有一个值(在0与1之间）存在，使得某人在(a)肯定得到B及(b)分别以概率和(1一)得到A或者C这两个事件之间无所偏向。这个无偏向性可以用以下“抽彩”法表示出：,(a),(b),显然从上述“抽彩”中可看出，如果为0，肯定得到C，因此C被明显地选用。而如果1，“抽彩”意味着肯定得到A，则置不被选用。因此，介于01的某个值，(a)与(b)之间无差别的情况将发生。在数学上的术语中，B为后一种“抽彩”法中的必然等
4、价。(4)替换性。一个“抽彩”和它的必然等价可以互换而不影响它的优选比从(3)显然可以看出两者具有同等的优选性。,(5)单调性。如果AB，于是当pp时，,(6)可分解性。一组分支可以用单个的分支代替，例如：,2功利函数,个人的优选特点如符合功利法则,则可将他的优选特点编入功利函数中.功利函数可将优选性的次序定量.从数学上而言,这个函数代表一个可选程度绘成实线的 图形,因此允许用数字来表示可选性.令符号 u()表示一个事件的功利函数。功利函数的特征要求：如AB，则u(A)u(B)；如AB，则u(A)=u(B)；如AB，则u(A)u(B)：功利函数的一个重要特征是一张彩票的功利等于它得奖的期望功利
5、。即功利函数与功利理论的原则是一致的。,例如,在A与C之间的抽彩的功利为,u()=pu(A)+(1-p)u(C)将上述方程中的功利函数的特性用于如下优选方式:两者抽彩功利相等u(B)=pu(A)+(1-p)u(C)对给定的A与C的功利值,首先建立一个具有合适的选定的 p值的无差别的表达式,然后由上述方程确定B的功利值.,p,1-p,A,C,功利函数另一个重要的性质是功利函数经过线性转换后其相对功利值将保持不变。换言之，如果一个一致的功利值集u经过下式转换到u u(Ei)a十bu(Ei);i=1，n 式中 a常数；b正常数。则新的功利值集u(Ei)，i=1，n，将仍保持决策者原先的优选性。这说明
6、功利值并不是唯一的,绝对功利值并不必要,能够表达优选性的相对功利值就能满足需要了。,3确定功利值,假设三个事件,E1,E2,E3,需要规定它们的功利值.首先按优选度次序排列,如E1E2E3.通常对最优选事件指定其功利值为1，最不优选事件指定为0，即u（E1）=1，u（E3）=0。相对E1即E3的功利，要求E2的功利，抉择者可以在如下的抽彩方式中作出选择：L1：L2：,1,E2,P,1-P,E1,E3,可以调整p值，直到L1，L2 两种抽彩方式无差别为止。此时的p值即为E2的功利值u（E2）.此时的p值和表示功利值u（E2），与抉择树种的概率无关。在复杂的决策树中，许多事件将需要指定功利值。可用
7、以下的步骤系统地确定几个事件的相对功利值，即E1至En：(1)按优选次序排列Ei，即E1E2En。(2)指定u(E1)1.0及u(En)0。(3)利用对前述三个事件所建议的方法，确定u(E2)，使得在下述抽彩事件之间无差别.,可以看出，两个极端事件E1及En，系用为抽彩的参考点。(4)对步骤(3)重复(n一3)次，每次分别用E3 En-1 代替E2；当然，每次得到的p值很可能是有差别的。(5)在这个阶段，已经确定丁一组功利值u(E1)，u(E2)，u(En)。可是，为了要对这些值作交叉检验，需要利用u(E1)及u(En-1),作为一组新的参考点，重复进行步骤(3)，并确定新的E2 的功利值，即
8、u(E2)，使之达到无差别，如下所示：如果这些功利值是一致的。u(E2)应等于u(E2)。(6)对步骤(5)重复(n一4)次，每次分别用E3 En-1 代替E2。,例：在一项决策分析中，它包括几种不同的方案，用于消除由于二氧化硫(SO2)及一氧化碳(CO)所造成某大城市的空气污染，需要确定如下四个事件的功利值：(1)低量CO，低量SO2；(2)高员CO，低量SO2；(3)低量CO，高量SO2；(4)高量CO，高量SO2等的浓度。显然事件的可取程度将随污染源浓度成反向变化。此外，决策者感到此刻减少SO2比减少CO更为迫切。请先做出这4种方案的优选程度排列，再来估计各个方案的功利值。,4经济价值的
9、功利函数,常常用经济术语表达失误的后果。可是，经济价值并非总是功利的一个一致性的量度；也就是，决策者的优选次序将取决于实际涉及到的金钱的数量，试考虑一下情况。要求一位决策者从一下一对抽彩中对方案和方案作出选择：,0.5,0.5,1.0,E1,E2,E3,在抽彩方案中，其结果将是E1或E2，两者均具有同等的可能性；而在抽彩方案中，肯定只有结果E3。如果各个事件的经济价值为d(E1)=10美分，d(E2)=0美分以及d(E3）=5美分，对决策者来说，方案和都无关紧要。可是，如果d(E1)=1000美元，d(E2)=0，而d(E3）=500美元，由于方案肯定获利500美元，因而可能被选；而方案有50
10、%的机会毫无所得而获得另外500美元的机会也并不是那么有吸引力。应该看到，两个方案的期望经济价值是一样的。,例 某工程师作出决策分析，这涉及到从损失20美元到获利100美元的后果。他要在这个钱数范围内确定其功利函数。,6最大期望功利,最大期望功利准则。以前曾指出经济价值并非总是可以代表一个真实的功利尺度。按此最大EMV准则也并非总是选择能反映决策者其实意愿的方案的适当准则，一个较常用的决策准则有如下所述。只要已知每一后果的功利，每一方案的期望功利值可由下式给出：,其中i=1,n,式中的uij为与有关的第j项结果的功利；Ui为方案i的功利。因此，使期望功利达到最大值，就可得到最大期望功利值价值准
11、则。根据这个最大EUV准则，最优方案的期望功利价值为:此时如果各个后果用经济语言dij来表达。上述方程变为：,式中u(dij)是为某个特定的决策者建立的金钱功利函数。,7功利函数的常用型式,功利函数通常是用来模拟风险排斥特性，它的数学型式将包括如下几种类型：(1)指数功利函数式中参数风险排斥程度的量度；a和b标准化常数。如果这个功利函数经标准化并使得u(0)0以及 u(1)1，则标准化的指数功利函数变为,指数功利函数,(2)对数型 标准化的对数函数如下所示：式中为一参数，通常相当于决策者所有的资金储备额度；亦即，当增加，决策者将有较多的多余的功利(例如钱)，并表现为较小的风险排斥。函数图形如下
12、：,对数功利函数,(3)二项式类型 标准化的二项式功利函数可表达为：式中a为与风险排斥程度有关的参数。决策者的风险排斥性程度可用如下的“风险排斥系数”来度量。,则经标准化的对数功利函数及二项式功利函数的风险排斥系数分别为：它们都是x的函数。可以看出，指数功利函数的风险排斥系数并不够其属性而有所变化；而对数功利函数的风险排斥系数则随着x而减小，而当为二项式功利函数时则随着x而增加。当然功利函数也可以是凹形的，也就是功利的增长限度格随属性x的增值而增加,在种情况下，决策者的优选特牲可称之“风险亲和性”。我们可以认为，这种优选特性通常是不实际的。,8期望功利对功利函数型式的敏感性,通常，很准肯定哪种功利函致型式是最合适的；例如，应该是指数型还是二项式型。然而，正确地选择功利函数的型式也许并非很重要，特别是，如果期望功利值对因数的型式并不敏感的话。,已经证明，在一给定的风险排斥水平上，期望功利对功利函数的型式较不敏感，并且在风险排斥系数的一个宽广的范围内，期望功利也没有显著的变化。因此，在期望功利的计算中，功利函数的准确型式中，并不是一个关键因素。再者，功利函数中的风险排斥系数不需要非常精确；即，在计算期望功利中，不致因规定风险排斥系数中的任何误差导致重大的差异。简言之，在统计决策分杆中，确定一个精确的功利函数的问题并不是关键性的。,
