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1、包饺子中的数学问题,构建数学模型的步骤如下：,第一步：识别问题,第二步：作出假设,a.识别变量并对变量进行分类,b.确定变量和子模型之间的相互关系,第四步：模型验证,a.是否表述了问题,b.在通常意义下是否有用,c.用实际数据来验证该模型,第五步：实施模型,第六步：维修模型（改进模型）,比例性和几何相似性是两个常用的、强有力的假设,第三步：求解或解释模型,往往到了这一步，会发现准备的很不充分。如果得到一个不能求解或不会解释的难以处理的模型，应该回到第二步做出另外的简化假设，甚至回到第一步重新定义问题。,前两步具有艺术和原创的性质，体现了数学建模的创造性，通常是比较困难的。,比例性,定义：两个变
2、量y和x是成比例的，如果一个变量总是另一个变量的常数倍，即：,记为：,著名的比例性的例子：,虎克定律：,牛顿定律：,欧姆定律：,质能方程：,S是压缩或拉长的弦长，F是恢复力,F是合外力，a是加速度,V是电压，i是电流，R是电阻,E是能量，m是质量，c是光速,比例有传递性：,则,几何相似性,两个几何相似的物体，形状是一样的，并且一个物体是另一个物体的简单放大。,如：飞机模型和飞机之间是几何相似的,几何相似性优点：,表面积和长度的平方成比例：,体积和长度的立方成比例：,若选择长度 作为特征量，则,一公斤面能包一公斤馅。若面没有变，馅儿增加了，问饺子应该包的大一点还是小一点？,识别问题：饺子面、馅和
3、饺子个数之间的函数关系。,假设：饺子之间是几何相似的。,则：,所以：,建模示例：包饺子中的数学问题,以饺子的直径,为特征量，设表面积为,体积为,面皮和饺子的表面积成比例。,馅儿和饺子的体积成比例。,根据比例的传递性，有：,设面皮的重量为M，则：,设馅的重量为X，则：,设饺子总数为n，,馅的总重量为,于是：,即：,当馅儿增加时，个数应减小，饺子应包的大一点。面增加时，个数应增加，饺子应包的小一点。,则,面的总重量为,模型,模型解释：,饺子的个数与面的立方成正比，与馅儿的平方成反比,例如：若一斤面，一斤馅，可包100个饺子，则一斤面两斤馅儿，应当包25个饺子.若包了50个饺子，则包了1.4公斤的馅儿,
