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1、1,线 性 代 数,上课时间:11-12学年度第一学期;9-18周 周二 周四,上课地点:东九,课程类型:必修(考试).,教学方法:课堂授课.,主讲教师:刘早清,总学时数:40,2,参考书:线性代数学习辅导与习题全解 华中科大.二版 高等教育出版社。,作业：每周 四交（以小班为单位、学习委员负责收）考试成绩：作业（20%）+卷面（80%）联系方式：问题及建议：课件下载：(mm 123456),3,第一章 行列式,一.二（三）阶行列式,二.余子式、代数余子式,三.n 阶行列式的定义,四.行列式的性质,五.行列式按一列（行）展开,六.Cramer法则,行列式概念的形成,行列式的基本性质及计算方法,
2、（定义）,行列式的应用,基本内容概要,4,1.1 行列式的定义1.1.1 二阶行列式的定义,求解二元线性方程组：,由消元法，得,得,同理，得,于是，当,时，方程组有唯一解,1.引入,5,2.为便于记忆，引进记号,称记号,为二阶行列式,数,称为元素,为行标，表明元素位于第 行,为列标，表明元素位于第 列,记号解读：,6,因此，上述二元线性方程组的解可表示为,再记,则,7,注：,(1)二阶行列式 算出来是一个数。,(2)记忆方法：对角线法则,主对角线上两元素之积 副对角线上两元素之积,主对角线,副对角线,如：,例1,8,1.1.1（补充）三阶行列式,定义,将二阶行列式记号推广，记,称为该数表所确定
3、的三阶行列式.,9,注：,(1)三阶行列式 算出来也是一个数。,(2)记忆方法：对角线法则,三阶行列式的计算,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,10,例：,评注(1)此行列式中所有元素非零但行列式为零。(2)此行列式中行与行、列与列之间有规律。,11,规律：,是3！个项的代数和每一项都是三个不同行、不同列的元素的乘积每一项都带有确定的符号,考察通项：,是1，2，3所有可能的排列。,下面我们再来分析一般三阶行列式的规律。,注：有了一般三阶行列式的定义后，也可以写出一般三元一次方程组的解的一般公式。,12,1.1.2 n阶行列式的定义 1.将上面的三阶行列式概念直接推广
4、到n阶行列式有难处 1）有多少项？2）每一项的 构成？3）每一项的 符号的 确定？2.n阶行列式的记号,3.余子式，代数余子式,13,定义：,在 n 阶行列式中，把元素,所在的第 i 行和,第 j 列划去后，余下的 n1 阶行列式叫做元素,的,余子式。,记为,称,为元素,的代数余子式。,例如：,14,注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。,15,4.n阶行列式的定义（值）（用归纳法）定义1.1当n=1时当n1时,16,注（1）上述定义n阶行列式（值）依不依 赖于列的选取？（否）（2）可不可以用行展开来定义n阶行 列式（可以）,例 当n=3时,可以验证下列等式,17,同样
5、也可以验证上述定义n阶行列式（值）也是不依 赖于列（行）的选取,18,例2 计算,注：按第三行和第一列展开行列式计算简单,19,(1),(2),例3 几个简单重要行列式：,对角行列式：,20,(3),上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）,(4),下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）,21,定理1.1 D为n阶行列式,注：此定理叫行列式按列展开定理，同样行列式也可以按行展开,22,1.2 行列式的性质与计算 1.2.1 行列式的性质,性质1：,行列式与它的转置行列式相等。,称为D的转置行列式,23,证 对行列式的阶数用数学归纳法,当n=1时，结论显然成立,假设n-1时，结论成立，下证对n
6、行列式结论亦成立。,则,记,24,将 D依第j列展开，便有,将 D与,分别对j和i从1到n求和 得,得,即,25,说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质 对列也成立，反之亦然。,推论：行列式亦可按行展开,26,性质2：,互换行列式的两行（列），行列式的值变号。,证明：,设,交换i、j 两行，得,i行,j行,27,证 对行列式的阶数用数学归纳法,当n=2时，,设 是由行列式D交换第 i行与第j行元素后得到的行列式，下证D=。对其阶数用数学归纳法,结论成立.,假设n-1时，结论成立，下证对n行列式结论亦成立。,由于n=2时以证，假设n2,则存在k(异于i,j)将D与 按 第k行展开,记,由归
7、纳假设以证,28,即有,故,推论：,如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0。,证明：,把相同的两行互换，有DD，所以 D0,29,性质3：,用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数 k 乘此行列式。,推论：,行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面。,推论：,若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0。,30,性质4：,即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。,31,32,性质5：,行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。,证明：
8、,33,得,34,利用行列式性质计算：,目标,化为三角形行列式,例4,计算,解：,35,36,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,性质6：,证明：,由行列式展开定理，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。,在,中，如果令第 i 行的元素等于另外一行，例如第 k 行的元素,37,则，,第i行,右端的行列式含有两个相同的行，值为 0。,38,例5 计算五阶行列式（其空白处全为0，同样可计算 n阶下列形式的行列式）,1.2.2 行列式的计算,注.利用行列式性质及展开定理计算行列式的例题,39,解法1,40,解法2,41,例6,42,43,例
9、7,箭形行列式,目标：把第一列化为,成三角形行列式,44,例8,箭形行列式,45,46,例9,（可以化为箭形行列式）,47,48,例10,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,等式右边：,49,证明：,用数学归纳法,(1)当n=2时,结论成立。,(2)设n1阶范德蒙德行列式成立，证n阶也成立。,50,n-1阶范德蒙德行列式,51,证毕。,52,思考题:,求第一行各元素的代数余子式之和,53,思考题:,求第一行各元素的代数余子式之和,解:,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,54,一、问题引入,1.用消元法解二元线性方程组,1.3 Cramer 法则,记,当,时,55,用加减消元法可
10、得二元线性方程组的解：,2、问题：二元线性方程组的上述解公式可否推广到n元线性方程组？,56,设线性方程组,则称此方程组为,非齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,1、非齐次线性方组与齐次线性方程组的概念,二、n元非齐次方程组与 Cramer 法则,57,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,2、克拉默(Cramer)法则,定理1.3,58,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，且解可以表示为,其中：,证明,59,证明,在把 个方程依次相加，得,60,由 代数余子式的重要性质,于是,当 时,方程组 则有唯一的一个解：,61,例1 用克拉默则解方程组,解,62,63,三、齐次线性方程组的相关定理,定理1.3*,64,必有非零解.,另外，以后将证明：若系数行列式,定理1.4 齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零.,65,例2齐次方程组,有非零解，问 k 满足什么条件？,66,解,齐次方程组的系数行列式为,如果齐次方程组的有非零解，,则,D=0,于是,K=1,
