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1、第4章 矩阵的因子分解,4.1 初等矩阵,4.2 满秩分解,4.3 三角分解,4.4 QR分解,4.5 Schur定理与正规矩阵,4.6 奇异值分解,4.1 初等矩阵,4.1.1 初等矩阵,4.1.2 初等下三角矩阵,4.1.3 Householder矩阵,4.1.1 初等矩阵,设，为一复数，如下形式的 矩阵,称为初等矩阵.,初等矩阵E(u,v,)具有如下性质：,4.1.2 初等下三角矩阵,称为初等下三角矩阵,即,对初等下三角矩阵，当i j 时，有,用初等下三角矩阵Li左乘一个矩阵A，等于从A的第 k 行减去第 i 行乘以。对于，如果，取,4.1.3 Householder矩阵,取u=v=w,
2、=2，并且w是单位向量，即|w|=1，初等矩阵,称为Householder矩阵或初等Hermite矩阵。,并且若上述条件成立，则使H(w)a=b 成立的单位向量w可取为,其中为任一实数。,Householder矩阵H(w)具有如下性质：,4.2 满秩分解,定理4.2.1（满秩分解定理）设 mn 矩阵 A的秩为r0,则存在 mr 矩阵B 和 rn 矩阵 C 使得,并且rank(B)=rank(C)=r.,什么是矩阵的满秩分解？矩阵的满秩分解是否存在？如果存在，满秩 分解是否唯一？如何计算矩阵的满秩分解？满秩分解有什么应用？,满秩分解的应用：有关结论的证明。计算广义逆矩阵。,4.3 三角分解,设A
3、=(aij)是n 阶矩阵，如果 A 的对角线下(上)方的元素全为零，即对i j,aij=0（对i j,aij=0），则称矩阵 A 为上（下）三角矩阵。上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵。对角元全为1的上（下）三角矩阵称为单位上（下）三角矩阵。,什么是矩阵的LU分解？矩阵的LU分解是否存在？如果存在，LU分解 是否唯一？如何计算矩阵的LU分解？LU分解有什么应用？,上（下）三角矩阵的性质,（LU分解定理）设 A 是 n 阶非奇异矩阵，则 存在唯一的单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使得,的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零,即,（LDU分解定理）设A是n阶非奇异矩阵,则存在唯一的单位下三角矩阵
4、L，对角矩阵D=diag(d1,d2,dn)和单位上三角矩阵U使得,的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零，即，并且,分解式 称为矩阵A的LDU分解。,一般说来，即使A是n阶非奇异矩阵，A未必能作LU分解和LDU分解。,设ei是n 阶单位矩阵的第i列(i=1,2,n)，以 为列作成的矩阵 称为 n 阶排列矩阵，其中 是1,2,n的一个排列。,设 A是 n 阶非奇异矩阵，则存在排列矩阵P 使得,其中L是单位下三角矩阵,是上三角矩阵，U是单位上三角矩阵，D是对角矩阵。,排列矩阵的性质。,排列矩阵的作用。,LU分解的应用：,求解线性方程组。,求解矩阵特征值问题。,4.4 QR 分解,设 A是 n
5、阶非奇异实（复）矩阵，则存在正交（酉）矩阵 Q 和非奇异实（复）上三角矩阵 R使得,且除去相差一个对角元绝对值(模)全等于1的对角矩阵因子外分解式（4.4.1）是唯一的。,什么是矩阵的QR分解？矩阵的QR分解是否存在？如果存在，QR分解 是否唯一？如何计算矩阵的QR分解？QR分解有什么应用？,设A 是 矩阵，且，则存在 m 阶正交（酉）矩阵 Q 和 行满秩矩阵 R使得,或A有分解,设 A 是 实（复）矩阵，且其n 个列向量线性无关，则存在m 阶正交（酉）矩阵Q 和 n阶非奇异实（复）上三角矩阵R使得,QR分解的应用：,求解线性方程组。,求解矩阵特征值问题。,求解线性最小二乘问题。,4.5 Sc
6、hur定理与正规矩阵,则称A正交（酉）相似于B。,定理4.5.1(Schur定理)任何一个n 阶复矩阵A都酉相似于一个上三角矩阵，即存在一个n 阶酉矩阵U 和一个n阶上三角矩阵 R 使得,其中R 的对角元是A 的特征值，它们可以按要求的次序排列。,则称A为正规矩阵。,n 阶矩阵 A 酉相似于一个对角矩阵的充分必要条件为 A 是正规矩阵。,若 A是n 阶Hermite矩阵，则 A必酉相似于实对角矩阵，即存在n 阶酉矩阵U 使得,(4.5.6)式称为Hermite矩阵A的谱分解式。,设A，B 均为n 阶正规矩阵，并且AB=BA，则存在n 阶酉矩阵U 使得 与 同时为对角矩阵。,定理4.5.4 任何
7、n 阶实矩阵A都正交相似于一个拟上三角矩阵，即存在一个n阶正交矩阵Q和一个n阶拟上三角矩阵R使得,其中R是块上三角矩阵（或称拟上三角矩阵）,其对角块为1阶块或2阶块,每个1阶块是A的实特征值,而每个2阶块的两个特征值是A的一对共轭复特征值,且R的对角块可以按要求的次序排列。,若 A是n 阶实对称矩阵，则 A正交相似于实对角矩阵，即存在n 阶正交矩阵 Q 使得,4.6 奇异值分解,则称为A的奇异值，u 和v 分别称为A对应于奇异值的右奇异向量和左奇异向量。,由(4.6.2)可得,若A是正规矩阵，则 A的奇异值是A的特征值的模。,设 A是 矩阵，且rank(A)=r，则存在m阶酉矩阵V 和 n 阶酉矩阵U使得,(4.6.5)称为矩阵 A的奇异值分解.,奇异值分解的计算,奇异值分解的应用,
