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1、双曲线 的简单几何性质,1.双曲线的标准方程:,形式一：（焦点在x轴上，（-c，0）、（c，0）,形式二：（焦点在y轴上，（0，-c）、（0，c）其中,一、复习回顾：,o,Y,X,关于X,Y轴,原点对称,(a,0),(0,b),(c,0),A1A2;B1B2,|x|a,|y|b,F1,F2,A1,A2,B2,B1,2.椭圆的图像与性质,2、对称性,一、研究双曲线 的简单几何性质,1、范围,关于x轴、y轴和原点都是对称的.,x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。,(-x,-y),(-x,y),(x,y),(x,-y),二、讲授新课：,3、顶点,（2）如图，线段A1A2叫
2、做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.,（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。,（1）令y=0，得x=a,则双曲线与x轴的两个交点为A1(-a,0),A2(a,0)，我们把这两个点叫双曲线的顶点;,令x=0,得y2=-b2,这个方程没有实数根，说明双曲线与y轴没有交点，但我们也把B1(0,-b),B2(0,b)画在y轴上。,双曲线的渐近线,想一想：怎样较为准确的画出,的图象？,Y,X,-4,4,-3,3,0,猜想：,4.渐近线：,我们把两条直线y=叫做双曲线的渐近线；,从图816可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与
3、直线y=逐渐接近.,“渐近”的证明：,先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.这一部分的方程可写为y=a).,设M(x,y)是它上面的点，N(x,y)是直线y=上与M有相同横坐标的点，,则Y=,y=,设是点M到直线y=的距离，则，当x逐渐增大时，逐渐减小，x无限增大，接近于O，也接近于O.就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON.,在其他象限内，也可证明类似的情况.,动画演示,等轴双曲线 的 渐近线为,利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.,具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内
4、从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.,双曲线的渐近线方程对于双曲线，把方程右边的“1”换成“0”，得双曲线渐近线方程为,思考：对于双曲线 的渐近线有怎样的结论呢？,练习、求下列双曲线的渐近线方程(1)4x29y2=36,(2)25x24y2=-100.,2x3y=0,5x2y=0,5、离心率,离心率。,ca0,e 1,e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大,（1）定义：,（2）e的范围：,（3）e的含义：,动画演示1,动画演示2,（4）等轴双曲线的离心率e=?,(5),A1,A2,B1,B2,a,b,c,几何意义,焦点在x轴上的
5、双曲线的几何性质,标准方程：,几何性质：,1.范围：,xa或x-a,2、对称性：,关于x轴，y轴，原点对称。,3、顶点:,A1（-a,0),A2（a，0）,4、轴：实轴 A1A2=2a,虚轴 B1B2=2b.,5、渐近线方程：,A1,A2,B1,B2,6、离心率：,Y,X,F1,F2,A1,A2,B1,B2,焦点在x轴上的双曲线草图画法,焦点在y轴上的双曲线的几何性质,标准方程：,几何性质：,1、范围：,ya或y-a,2、对称性：,关于x轴，y轴，原点对称。,3、顶点：,B1（0，-a），B2（0，a）,4、轴：实轴 B1B2=2a;虚轴 A1A2=2b.,5、渐近线方程：,6、离心率：,X,
6、Y,F1,F2,O,B1,B2,A2,A1,焦点在y轴上的双曲线图像,关于x轴、y轴、原点对称,图形,方程,范围,对称性,顶点,离心率,A1（-a，0），A2（a，0）,A1（0，-a），A2（0，a）,关于x轴、y轴、原点对称,渐近线,F2(0,c)F1(0,-c),如何记忆双曲线的渐近线方程？,例1:求双曲线,的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。,解：把方程化为标准方程,可得:实半轴长a=4,虚半轴长b=3,半焦距c=,焦点坐标是(0,-5),(0,5),离心率:,渐近线方程:,例题讲解,1、填表,|x|,6,18,|x|3,(3,0),y=3x,4,4,|y|2,(0,2
7、),10,14,|y|5,(0,5),近,椭圆与双曲线的性质比较,小 结,|x|a,|y|b,|x|a，yR,对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点,对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点,（-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)长轴：2a 短轴：2b,(-a,0)(a,0)实轴：2a虚轴：2b,无,P126 2,小结：本节课讨论了双曲线的简单几何性质：范围，对称性，顶点，离心率，渐近线，请同学们熟练掌握。,作业P127 1,2(1)(2)(A本),谢谢观看！,再见！,例2、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,
8、高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).,A,A,0,x,C,C,B,B,y,例题讲解,解：如图，建立直角坐标系xOy,使小圆的直径AA1在x轴上，圆心与原点重合。这时，上下口的直径CC1,BB1都平行于x轴，且CC1=132,BB1 252,用计算器解方程(3)，得b25,P126 3,4,5,练习,“共焦点”的双曲线（椭圆）,（1）与椭圆 有共同焦点的双曲线方程表 示为,（2）与双曲线 有共同焦点的双曲线方程表示为,椭圆,椭圆,法二：设双曲线方程为,双曲线方程为,解之得k=4,（3）,（3）,.,双曲线的渐近线方程为,解出,1、若双曲线的渐近线方程为 则双曲线的离心率
9、为。2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角为。,课堂练习,3.双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为_,4、双曲线9y216x2=144的两条渐近线的夹角是（）,A、2arctan4/3B、2arccot3/4C、2arctan4/3D、2arctan3/4,C,y=4x/3,y=4x/3,5、如果双曲线x2/a2y2/b21的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为,作业,P127 2(3)(4),4,7(B本),例3：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线 的距离比是常数(ca0)，求点M的轨迹.,解：,设点M(x,y)到l的距离为d，则,即,化简得,(c2a2)x2
10、a2y2=a2(c2 a2),设c2a2=b2，,(a0,b0),故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.,b2x2a2y2=a2b2,即,就可化为:,点M的轨迹也包括双曲线的左支.,双曲线的第二定义,平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。,定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.,对于双曲线,是相应于右焦点F(c,0)的右准线,类似于椭圆,是相应于左焦点F(-c,0)的左准线,点M到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义.,想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？,
11、相应于上焦点F(0,c)的是上准线,相应于下焦点F(0,-c)的是下准线,由已知：,解：,a=4,b=3,c=5,双曲线的右准线为l:,作MNl,AA1l,垂足分别是N,A1,N,A1,当且仅当M是 AA1与双曲线的交点时取等号,令y=2,解得:,例5、,证明：,P,说明：|PF1|,|PF2|称为双曲线的焦半径.,y,.,.,F2,F1,O,.,x,|,基础练习,1.双曲线的中心在原点,离心率为4,一条准线方 程是,求双曲线的方程.,2.双曲线4y2-x2=16的准线方程是；两准线间 的距离是;焦点到相应准线的距离是.,点评：双曲线的焦点到相应准线的距离是,3.双曲线的渐近线方程为 一条准线
12、方程 是,则双曲线的方程是.A.B.C.D.,D,4.双曲线 上的一点P到它的右焦点的 距离为8,那么P到它的左准线的距离.,练习,P127 5,6,8,例6:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,求证:(1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;(2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.,Y,X,A1,A2,B1,B2,F1,F2,o,F2,F1,证明:(1)设已知双曲线的方程是:,则它的共轭双曲线方程是:,渐近线为：,渐近线为:,可化为：,故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线,(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0),它的共轭双曲线的焦点为F1(0,c),F2(0,-c),c=c,所以四个焦点F1,F2,F3,F4在同一个圆,问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？,
