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1、1,主讲教师:王升瑞,高等数学,第二十九讲,2,微分方程,第七章,积分问题,微分方程问题,推广,3,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,第七章,4,引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C=1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x,求该曲线的方程.,5,引例2.列车在平直路上以,的速度行驶,制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知,由前一次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明:利用这一规
2、律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程.,即求 s=s(t).,再积分,6,常微分方程(未知数是一元函数),偏微分方程(未知数是多元函数),含未知函数及其导数(微分）的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),(n 阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地,n 阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或,7,引例2,使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称
3、为积分曲线.,8,例3 二阶微分方程,试问下列函数,是否是方程的解,是通解还是特解?,解:分别将四个函数代入方程,均 左边=右边,则这四个函数均为方程的解.,是方程的特解.,是方程的特解.,其中有两个任意常数是方程的通解.,其中只有一个常数,则即不是方程的,通解,也不是特解.,9,求曲线所满足的微分方程.,例4 已知曲线上点 P(x,y)处的法线与 x 轴交点为 Q,解:如图所示,令 Y=0,得 Q 点的横坐标,即,曲线上的点 P(x,y)处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,设法线上的任一点为(X,Y),10,内容小结,1.微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,解;,阶;,通解;,特解,y=x 及 y=C,11,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1)根据几何关系列方程(如:例1，4),2)根据物理规律列方程(如:例2),3)根据微量分析平衡关系列方程(P298,6),(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.,(3)求通解,并根据定解条件确定特解.,2.解微分方程应用题的方法和步骤,书上 例2 例4 自学,12,作业,P298 1（1）（5）口答;2(3);5;,
