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1、第二节 平面向量的基本定理及坐标表示,基础梳理,非零,0180,0,180,(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是,则a与b垂直,记作.,90,ab,2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数1、2,使a=.其中,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x、y,使a=xi+yj.把有序数 对叫
2、做向量a的坐标,记作a=,其中 叫a在x轴上的坐标,叫a在y轴上的坐标.设OA=xi+yj,则 就是终点A的坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为,反之亦成立(O是坐标原点).,不共线,有且只有,1e1+2e2,不共线的向量e1,e2,互相垂直,(x,y),(x,y),x,y,(x,y),3.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算,(x1+x2,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),(x1,y1),(2)向量坐标的求法,终点,始点,x1y2-x2y1=0,b,1.(原创题)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则向量2a+3b-c的坐标为()A.(-3,4)B.(
3、3,4)C.(1,5)D.(3,-5),基础达标,A,解析：2a3b c2(1,1)3(1,1)(4,2)(2,2)(3,3)(2,1)(232,231)(3,4),a+b,3.在正三角形ABC中，AB与BC的夹角为.,120,2.解析：,3.解析：在正三角形ABC中，B60，与的夹角为60，与的夹角为18060120.,4.(2011聊城模拟)已知向量a=(3,4),b=(sin,cos),且ab，则tan=.5.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB=(2,4),AC=(1,3)，则BD=()A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4),B,4.解析：由题意得
4、，tan,5.解析：由题意得(1,3)2(2,4)(3，5),经典例题,题型一 平面向量基本定理,变式1-1,题型二 平面向量的坐标运算,变式2-1,题型三 平面向量共线的坐标表示,【例3】(2011大连模拟)平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2)，c=(4,1),回答下列问题：（1）求满足a=mb+nc的实数m,n；（2）当k为何实数时，(a+kc)(2b-a)，它们是同向还是反向？,解：（1）由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)，所以 解得（2）a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=-.此时a+kc=（-,）=(-5,2)=(2b-a),所以它们同向.,易错警示,链接高考,知识准备:1.会进行平面向量的坐标运算；2.会利用平行的条件.,解析:a=(2,-1),b=(-1,m),a+b=(1,m-1).由(a+b)c,得,m=-1.,
