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1、向量的内积的概念向量的长度向量的正交性向量空间的正交规范基的概念向量组的正交规范化正交阵、正交变换的概念,1.预备知识：向量的内积,下页,关闭,n维向量是空间三维向量的推广，本节通过定义向量的内积，从而引进n维向量的度量概念：向量的长度，夹角及正交。,定义1 设有 n 维向量,向量内积的概念,在空间解析几何中，两向量的数量积,在直角坐标系中表示为,推广到 n 维向量即有：,上页,下页,返回,内积。,内积的运算规律：,上页,下页,返回,向量的长度,由向量内积的性质(v)自然引入向量的长度。定义1 令,向量长度的性质：,上页,下页,返回,单位向量。,正交向量组：指一组两两正交的非零向量。,向量的正
2、交性,空间解析几何中两向量垂直推广到 n 维向量，可得向量的正交性概念。,上页,下页,返回,夹角。,定理1,证,上页,下页,返回,例1,解,已知 3 维向量空间 R 3 中两个向量,上页,下页,返回,上页,下页,返回,就是 R 4 的一个正交规范基。,向量空间的规范正交基,定义3,上页,下页,返回,上页,下页,返回,向量组的正交规范化,上页,下页,返回,上页,下页,返回,就得 V 的一个正交规范基。,然后只要把它们单位化，即取,上页,下页,返回,试用施密特正交化过程把这组向量正交规范化。,解,例2,上页,下页,返回,再把它们单位化，取,上页,下页,返回,解,例 3,它的基础解系为,上页,下页,
3、返回,把基础解系正交化，即为所求。取,上页,下页,返回,由于正交化过程十分繁锁，因而在求正交向量组时，只要抓住向量正交的本质，可以避免正交化过程。,x1+x2+x3=0,的基础解系为例，,使得前两个分量与,的前两个分量对应,乘积之和为零即可，,容易验证,要求两两正交的基础解系，只要取,从而取,以例3中求齐次线性方程组,上页,下页,返回,Ex.1,解,其基础解系可取为,上页,下页,返回,定义4 如果 n 阶方阵 A 满足AT A=E(即 A1=AT),那么称 A 为正交阵。上式用 A 的列向量表示，即是,上页,下页,返回,是正交阵。,例4,解 P 的每一个行向量都是单位向量，且两两正交，所以 P
4、 是正交阵。,验证矩阵,上页,下页,返回,这就说明：方阵A 为正交阵的充分必要条件是A 的列(行)向量都是单位向量且两两正交。从而正交阵A 的n 个列(行)向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基。,定义5 若 P 为正交阵，则线性变换 y=P x 称为正交变换。,这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次型的几何特征。,设 y=P x 是正交变换，则有,上页,下页,返回,(i).正交矩阵A 的行列式|A|=1 或|A|=1;(ii).正交矩阵A 是可逆的，且A1=AT；(iii).正交矩阵A 的逆矩阵A1 也是正交矩阵；(iv).同阶正交矩阵A 与B 的乘积也是正交矩阵。,正交矩阵在本章中占有重要的地位，因此，必须牢记正交矩阵的性质：,上页,返回,
