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1、4.3 协方差 相关系数,4.1节与4.2节我们介绍了随机变量的两个,常见的数字特征，即数学期望与方差，它们分,别反映了随机变量取值的平均水平和随机变量,取值相对于均值的分散程度，但有时还要考虑,多个随机变量之间的取值关系，为此我们引入,协方差与相关系数的概念。,4.3.1 协 方 差,即,和 都存在，则,定义1 设 是二维随机变量，如果,称 为 与 的协方.,差，记为,由协方差定义与方差性质可以得到,即,由协方差定义可知协方差也是一随机变量函数的期望值，且,即,这也是一个常用的计算协方差的公式。如果,与 相互独立，则，从而,但反过来不一定成立，即如果协,，则容易算得 X 与Y 显然是不独立的
2、，因为 Y 的取值是由 X 来定的。,方差为0，与 不一定相互独立。,例如，设随机变量 的分布列为,类似于一维随机变量的正态分布，容易算得，,例1 设二维随机变量 服从正态分布 试求,从而,前面我们已经知道，二维正态分布中 与 相互独立等价于 从而,对于协方差，具有以下几条性质：,证明（1）由协方差定义，,=0.,即对二维正态分布，与 相互独立的充分,必要条件是,（为任常数）；,（，常数）.,4.3.2 相关系数,可以看出，是一个无量纲的数，,存在，则称之为 与 的,定义2 对二维随机变量，如果,相关系数，记为.,而且由协方差定义可得,与,的协方差，因为两标准化随机变量 与,即：的相关系数是标
3、准化随机变量,的期望值都是0，从而,相关系数具有以下性质：,的充分必要条件是存在,当 相互独立时，,常数 使,证明（1）由协方差公式可知,由方差非负性可得,从而,（2）必要性 若 则由（1）可知,从而,则,由方差性质（5）可得,即,其中,当 时，类似可得 与 有线性关系.,充分性 设 为常数，从而,所以,从而,则,对于相关系数 当 时，,所以,（3）当 与 相互独立时，,与 之间有线性关系，此时称 与 是,完全相关的，其中,由性质（3）知道，相互独立的随机变量一定不相关，但反过来不一定成立。而对正态分布而言，独立性与不相关性是一致的。,若 称 为正相关；,若 称 为负相关；,若 称 为不相关；,一般情况下，的大小反映 与 取值的相关程度。,
