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1、图像压缩之小波方法,Wavelet,Fourier变换,以为函数的Fourier变换定义为逆变换为：,CWT及其反变换,母小波(t)是满足下列特性的实或复的连续函数：函数均值为0属于L2相容性条件一旦选择了小波(t)，函数f(t)的连续小波变换：,CWT及其反变换.,一般，定义函数：其中b是平移参数a是尺度（或伸缩）参数逆CWT定义为：,两个小波,Morlet小波墨西哥草帽小波,Haar变换,Haar变换基于Haar函数hk(x),(0 x1,k=0,1,N-1,N=2n)设k=2p+q-1,其中0pn-1当p=0时，q=0或1当p0时，1q2p,定义:h0(x)=1/SqrtNhk(x)=h
2、p,q(x)=1/SqrtN*,NN阶Haar变换矩阵AN 的i行j列的元素为：hi(j/N),i,j=0,1,N-1,Haar变换,Haar变换将函数f(x)分解为以下的无穷和,Haar小波,一个例子,设有8个整数1,2,3,4,5,6,7,8首先计算4个平均值和4个差值(低分辨率和细节)：(1+2)/2,(3+4)/2,(5+6)/2,(7+8)/2,(1-2)/2,(3-4)/2,(5-6)/2,(7-8)/2=3/2,7/2,11/2,15/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2对4个平均值重复上述过程，分成两个平均值和两个差值：10/4,26/4,-4/4,-4/4,-1/2,-
3、1/2,-1/2,-1/2对前两个分量继续进行：36/8,-16/8,-4/4,-4/4,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2这些过程把序列分解为不同分辨率的表示，由于差值较小或可以忽略，就有可能进行有效的压缩。,Haar变换的应用,把它推广到二维图像：标准分解和金字塔分解标准分解每行进行小波变换，然后对每列进行金字塔分解在行列之间交替进行小波变换,原始图像,L1 H1,L2 H2 H1,L3H3 H2 H1,原始图像,L H,HL,LH,HH,LLL LLH,HL,LH,HH,HL,LH,HH,滤波器组,滤波器是用滤波器系数h(0),h(1),h(2),定义的线性算子(x输入,y输出)：y
4、(n)=h(k)x(n-k)=h*x(卷积)滤波器组的思想是：由一个低通滤波器H0和一个高通滤波器H1组成一个滤波器组，低通滤波器利用卷积去除输入信号x中的高频分量，而让低频通过，高通滤波器的作用正好相反，它们共同将输入分成频带。,f(t),H1 2,H0 2,H1 2,H0 2,H1 2,H0 2,滤波器组系数,给定一组滤波器，有N抽头的前向和反向滤波器各两个：H0、H1和F0、F1(N是偶数)，其系数记为h0,h1,f0,f1。这些量必须满足的一组条件是：归一化：矢量h0是归一化的，即长度为1正交性：1iN/2，h0由2i个元素形成的矢量与同一个h0后2i个元素形成的矢量正交矢量f0是h0
5、的逆矢量h1与f0除了奇数下标的元素相反外都相同矢量h0与f1除了偶数下标的元素相反外都相同,DWT,用矩阵乘法描述离散小波变换，以Daubechies D4为例：满足条件：c02+c12+c22+c32=1c2c0+c3c1=0,其它常用小波的滤波器系数,BeylkinCoifman 1-tapCoifman 2-tapCoifman 5-tapDaubechies 4-tapDaubechies 20-tapSymmlet 4-tapSymmlet 10-tapVidyanathan,图像分解方法,Laplacian金字塔线梅花状金字塔标准法均匀分解自适应小波包分解,JPEG 2000,J
6、PEG在图像压缩领域有着广泛的应用，但不完善。对一个88像素块进行DCT有时会导致重建图像中出现块效应。JPEG 2000是基于小波技术的新的图像压缩编码系统,What is JPEG 2000?,From JPEG 2000 is the latest series of standards from the JPEG committee.The original standard for digital images(IS 10918-1,popularly referred to as JPEG)was developed 15 years ago,and with the major
7、increase in computer technology since them,and lots of research,it was felt to be time for a new standard capable of handling many more aspects than simply making the digital image files as small as possible.JPEG 2000 uses wavelettechnology.and as well as being better at compressing images(up to 20
8、per cent plus),it can allow an image to be retained without any distortion or loss.Simply sending the first part of such a lossless file to a receiver can result in a lossy version appearing(like present JPEG)-but continuing to transmit the file results in the fidelity getting better and better unti
9、l the original image is restored.,JPEG2000的改进（期望的）,高压缩效率处理多达232x232个像素的大图像的能力渐进图像传输可以便捷、快速地访问压缩流的不同点当图像的一部分正在解压缩时，解码器可以遥摄/缩放整幅图像解压缩时，解码器可以旋转、裁剪图像误差弹性,JPEG 2000是怎样工作的？,如果要压缩彩色图像，将它分成3个分量，把每个分量都分割成不重叠的矩形区域，称为贴片(tiles)，分别对贴片进行压缩。贴片的压缩主要分为4步：计算小波变换，得到小波系数子带。标准规定了整数与浮点两种小波变换。有L+1个子带分辨率层，其中L由编码器决定。如果用户指定了
10、目标码率，则量化小波系数。码率越低，量化就越粗糙。用MQ编码器对小波系数进行算术编码，用的是EBCOT算法。该算法的原理是将每个子带分成块(码块code-blocks)，分别编码。构造位流，将包连同许多标记一起写进位流。解码器可以根据标记跳过位流中的某些部分，从而更快地定位某些点。,颜色分量,对于彩色图像，JPEG2000编码器的第一步是对颜色分量进行可逆分量变换(RCT)或不可逆分量变换(ICT)。然后分别对每个变换后的分量进行压缩。如果像素为无符号值，在分量变换前先进行电平偏移，将02s-1变换为-2s-12s-1-1,RCT,RCT是一种去相关变换，只能与整数小波变换（可逆的）一起使用。
11、图像分量i的像素值：Ii(x,y),i=0,1,2则新的值Yi(x,y)由下式生成：Y0=floor(I0+2I1+I2)/4)Y1=I2-I1Y2=I0 I1,ICT,ICT也是去相关变换，只能与浮点数小波变换（不可逆）一起使用。Y0=0.299 I0+0.587 I1+0.144 I2Y1=-0.16875 I0-0.33126 I1+0.5 I2Y2=0.5 I0-0.41869 I1-0.08131 I2,贴片,图像的每个颜色分量被分割成不重叠的矩形贴片，不同的颜色分量可以有不同的分辨率，每个颜色分量的所有贴片大小相同（边界除外）。采用贴片的主要原因是使用户可以对图像中感兴趣的部分进行
12、解码。,小波变换,标准指定了两种小波变换:(9,7)浮点小波和(5,3)整型小波，二者都允许渐进传输，但只有整型变换能够得到无损压缩。(5,3)整型小波变换计算小波系数时，先计算奇数位的值，然后利用它们计算偶数位的值：C(2i+1)=P(2i+1)floor(P(2i)+P(2i+2)/2)C(2i)=P(2i)+floor(C(2i-1)+C(2i+1)+2)/4),(9,7)浮点小波变换,4个提升和两个缩放：C(2i+1)=P(2i+1)+(P(2i)+P(2i+2)C(2i)=P(2i)+(C(2i-1)+C(2i+1)C(2i+1)=C(2i+1)+(C(2i)+C(2i+2)C(2i
13、)=C(2i)+(C(2i-1)+C(2i+1)C(2i+1)=-KC(2i+1)C(2i)=(1/K)C(2i)其中=1.586134342,=-0.052980118,=0.882911075,=0.443506852,K=1.230174105这些一维小波变换要用L次，且行列交错形成子带的L层。,量化,每个子带都可能有不同的量化阶。用量化阶分割子带中各小波系数，并将结果截断。如果希望无损压缩，则设量化阶为1。,分区和码块,考虑彩色分量中的一个贴片，进行小波变换后，得到有L层分辨率的子带，在整幅图像上由矩形网格进行分区，在同一分辨率中的3个对应子带同一位置的分区，构成分区分割(precin
14、cts partition)，把它分成更细的码块网格，作为算术编码的基本单元。贴片、分区、码块的分割有助于：节约存储流化容易访问位流的任意点。简单的编码器可能只有1个贴片，1个分区，1个码块。,熵编码,一个码块的小波变换系数按位平面进行算术编码。编码从最高有效位平面开始，到最低有效位平面结束。对每个位确定一个上下文，根据上下文估计概率，然后将位和它的概率传送给算术编码器。,包,将一个分区分割中所有码块的所有系数的所有位编码成一个短位流后，在位流中加入头信息，就形成一个包。一个分区分割对应于3个子带的同一个空间位置，一个包可以看成是某个空间位置上一个分辨率层的质量增量。,层,层是一个包的集合，包括来自每个分辨率层中每个分区分割的一个包。层是全分辨率下整幅图像的质量增量,渐进传输,标准提供了4种渐进传输与解码图像的方法：分辨率、质量、空间位置和分量。只要把包按特定次序放在位流中，就可以获得特定的渐进性。,感兴趣的区域,客户可能只想解码图像的一部分，即感兴趣的区域(ROI)。ROI可能在压缩时指定。也可以在图像压缩结束后，用贴片识别ROI。,总结,试验显示JPEG2000的性能优于原始JPEG，尤其当图像的码率很低（大压缩因子）或者对图像质量的要求非常高时。,
