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1、6.1 测量误差概述仪器测量某量产生误差(error)表现相同条件下对某量多次重复观测所得观测值l1，l2，ln一般互不相等设观测量的真值 观测量li的误差 产生误差原因仪器误差、观测误差、外界环境误差分类偶然误差、系统误差。,第6章 测量误差的基本知识,1)偶然误差(Accident error)符号与大小呈偶然性单个偶然误差无规律，大量偶然误差有统计规律偶然误差真误差案例1三等、四等水准测量在cm分划水准标尺上估读mm位估读的数有时过大，有时偏小案例2经纬仪测量水平角大气折光使望远镜中目标的成像不稳定引起瞄准目标有时偏左、有时偏右多次观测取平均值可以削弱偶然误差的影响不能完全消除偶然误差的
2、影响。,2)系统误差(System error)符号与大小保持不变，或按一定规律变化案例钢尺量距用没有鉴定、名义长为30m、实际长为30.005m的钢尺量距每丈量一整尺段距离就量短了0.005m产生-0.005m的量距误差各整尺段的量距误差大小都是-0.005m符号都是负，不能抵消，具有累积性系统误差对观测值的影响具有一定的规律性找到规律就可对观测值施加改正以消除或削弱系统误差的影响。,误差定义规范规定使用前，测量仪器应检验和校正按规范要求操作布设平面与高程控制网测量控制点三维坐标时应有一定量的多余观测严格按规范要求进行测量时系统误差可被消除或削弱到很小讨论误差只含有偶然误差(真误差)的情形：
3、,6.2 偶然误差的特性定义大部分情况下，真值 未知，求不出某些情形中，观测量函数的真值已知案例三角形内角和闭合差定义为 i=(1+2+3)i180真值，的真误差结论三角形闭合差的真误差等于闭合差本身,358个三角形闭合差真误差统计分析案例,横坐标，纵坐标长条矩形面积，等于频率,偶然误差的四个特性 偶然误差有界一定观测条件、有限次观测偶然误差绝对值不超过一定限值 小误差出现频率大，大误差出现频率小 绝对值相等的正、负误差出现频率大致相等 观测次数n，偶然误差平均值 0,误差个数n，误差区间d 0小长条矩形顶折线光滑曲线正态分布密度曲线正态分布概率密度函数高斯(1777-1855)1794年(1
4、7岁)研究误差规律时发现，f()0|1|2|，f(1)f(2)f()=f()，f()关于y轴对称 E()=0Expectation数学期望,概率论称随机变量为连续型随机变量时，可以证明E()随机变量的数学期望(Expectation)Var()方差(Variance)，标准差为离散型随机变量时，上述两式变成,用数学工具软件Mathematica证明,用数学工具软件Mathematica绘函数图,数学工具软件Mathematica背景资料20世纪相当长时间内大学数学教学体系和教学内容仍保持20世纪初框架工科数学体系基本沿用20世纪50年代末方案教学内容无大的变化内容多、负担重、枯燥乏味、学生学习
5、积极性不高一直困扰着大学数学教育新技术在数学教学中的应用严重滞后于其他学科数学课逐渐变成不少学生不喜欢、枯燥乏味、不知有何用途的课程，数学教学与社会需求严重脱节,针对该问题，美国国家科学研究管理机构组织协调投入相当多资金和人力完成两项改革“微积分改革”，“将数学及其应用贯穿到大学课程”改革的成功经验在20世纪末影响我国数学课程改革当前，国内外数学课程教改的主要做法1)改革现有数学课程,删除陈旧内容,简化形式推理和繁琐技巧，实现逻辑推理、图形与数值计算结合适当增加有关数学应用内容包括数学在现代社会和新科学技术中的应用实例和将实际问题归结为数学问题即“数学建模”的方法达到提高学生对数学的广泛应用性
6、的认识培养学生具备一定的用数学解决实际问题的能力。,2)开设一些新的诸如“数学建模”类课程计算机科学和其他学科渗透到数学或数学渗透到其他学科的交叉学科课程以及学生运用计算机为手段自己动手学习数学和认识数学的课程“数学实验”1996年，中国工业与应用数学学会和全国高等学校数学与力学教学指导委员会相继将“数学实验”列为面向21世纪教学内容和课程体系革新的突破口并定位于理工科大学生数学教育的基础课。,“数学实验”是计算机技术和数学软件引入教学后出现的新事物什么是数学实验？对数学进行折腾连蒙带猜找规律从问题出发学生动手、动眼、动脑借助于PC机成千上万次折腾尝试数学的探索、发现、应用。,“数学实验”倡导
7、将数学工具软件(例如Mathematica、Matlab、Maple、Xmath、Lindo、Lingo等)作为学习、研究和应用数学的一种新手段强调学生的主体性，学生主要不再通过教师传授而是通过自己亲手实验去发现知识、获取知识在美国等发达国家大学，数学工具软件已成为大学生/硕士生/博士生必须掌握的基本程序语言更是早已成为研究设计单位和工业部门解决工程计算问题的一种标准软件。,1988年发布Mathematica 1.0总设计师美国伊利诺大学教授Stephen Wolfram美国纽约时代周刊杂志称其为“不容忽视的重要软件”商业周刊后来将其列入当年最重要的十大新产品名单Mathematica作为一
8、项理论与实践结合的革新成果在科学技术领域迅速流行开来Mathematica在计算机上进行数学表达式化简、多项式四则运算、求最大公因式、因式分解、常微分方程和偏微分方程解函数、函数幂级数展开、求极限、曲线拟合、线性规划、矩阵和行列式运算、线性方程组符号解、函数作图等几乎涉及数学学科所有领域工作。,Mathematica可以将研究人员从繁琐杂的数学公式推导和数值计算中解放出来从而有更多的时间和精力从事建模方法和过程分析研究。,6.3 评定真误差精度的指标1)标准差与中误差对真值 进行了n次等精度独立观测观测值l1，l2，ln 真误差1，2，n 观测值的标准差n有限时的标准差中误差(mean squ
9、are error)m表示,例6-1 已知某段距离真值49.984m用50m钢尺丈量6次，求一次丈量50m的中误差,Excel计算,2)相对误差专为距离测量定义的精度指标单纯用距离丈量中误差不能反映距离精度情况丈量50m距离，测量中误差5mm丈量100m距离，测量中误差5mm不能认为这两段不同长度的距离丈量精度相等引入相对误差,相对误差无单位，分子、分母长度单位应统一习惯将相对误差分子化为1，分母为一个较大数分母越大相对误差越小，距离测量精度越高后者精度前者,3)极限误差某一事件发生的概率定义任一正实数，事件|的概率为,fx-5800P程序P6-3计算极限误差发生概率,执行P6-3程序计算极限
10、误差发生概率的操作过程,Mathematica的NIntegrate 函数计算,结论真误差绝对值的占31.731%真误差绝对值2的占4.55%真误差绝对值2的占0.27%后两者属于小概率事件，小样本中不会发生观测次数有限时绝对值2或3的真误差不可能出现测量规范常以2或3作为真误差的允许值限差|限|=2=3m或|限|=3=3m观测值误差大于上述限差时认为它含有系统误差，应剔除。,6.4 误差传播定律及其应用测量中，有些未知量不能直接观测测定需由直接观测量计算求出水准仪一站观测的高差h=ab三角高程测量初算高差h=Ssin直接观测量的误差导致它们的函数也存在误差函数的误差由直接观测量的误差传播过来
11、,1)线性函数的误差传播定律及其应用函数Z=f1X1+f2X2+fnXn系数f1，f2，fn误差独立观测量X1，X2，Xn观测量中误差m1，m2，mn函数的中误差,(1)等精度独立观测量算术平均值的中误差等精度独立观测值l1，l2，ln算术平均值每个观测量的中误差m结论算术平均值的中误差=为一次观测中误差的n时，,例6-1 每次距离丈量中误差m=5.02mm6次丈量距离平均值的中误差平均值的相对误差,(2)水准测量路线高差的中误差独立观测n站高差h1，h2，hn路线高差之和h=h1+h2+hn每站高差观测中误差m站计算上山水准路线的高差中误差,平坦地区水准测量每站前后视距Li基本相等水准路线总
12、长L(km)，则n=L/Li代入 每km水准测量高差观测中误差,2)非线性函数的误差传播定律及其应用非线性函数Z=F(X1，X2，Xn)X1，X2，Xn误差独立观测量中误差m1，m2，mn,例6-2 测量斜边S=163.563m，中误差mS=0.006m测量角度=32o1526，中误差m=6边长与角度观测误差独立,求初算高差h的中误差mh解 h=Ssin，取全微分得,角度的微分量d除以是为了将d的单位由秒弧度h=Ssin=163.563sin32o1526=87.297mf1=h/S=87.297163.563=0.533721f2=hcot/=87.297cot32o1526206265=0
13、.000671,fx-5800P初算高差误差传播定律计算程序P6-4,6.5 等精度独立观测量的最可靠值与精度评定等精度独立观测值l1，l2，ln算术平均值真误差1，2，n取极限结论观测次数n时，算术平均值真值n有限时，取算术平均值为未知量的最可靠值。,真值 已知真值 未知用 代替 计算m定义观测量改正数(残差residual)有真误差常数，i=-Vi取平方i2=2-2Vi+Vi2=n2+2V+VV=n2+VV,取极限l1，l2，ln误差独立，其两两协方差=0,观测次数n有限时等精度独立观测时观测值改正数Vi计算一次观测中误差的公式白塞尔公式(Bessel formula),1838年德国天文
14、学家F.W.白塞尔(Bessel)用当时最先进的望远镜、三角方法对一颗十分昏暗的恒星天鹅座 61进行观测推算出它距地球的距离为11.2光年证实了哥白尼的日心地动学说。距离波兰天文学家尼古拉哥白尼1514年：地球和其他行星都绕太阳旋转已324年1841年白塞尔测出地球椭球参数长半径a=6377397m/扁率f=1:299.15(白塞尔椭球)IUGG1975椭球a=6378140m，f=1:298.257a=743m,恒星是宇宙物质的主要表现形式银河系总质量90%集中在20002500亿个恒星中千百年来，在探索宇宙的科学家心目中恒星是什么？它们是怎样发光的？恒星是永恒的，还是有各自的诞生和归宿？等
15、问题始终是头等重大课题打开恒星世界真象的第一把钥匙是测量恒星距离知道恒星间距离推算出恒星大小根据观测的恒星亮度每秒种总辐射能量。1838年德国天文学家(白塞尔)测出地球距离第一个恒星天鹅座61的距离11.2光年给恒星研究带来了曙光。,例6-3 在例6-1中，假设距离真值未知用白塞尔公式计算钢尺每次丈量50m的中误差？算出6次量距的平均值49.9822m,Excel计算,fx-5800P的SD模式计算例6-3,6.6 不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定 1)权(Weight)的定义观测量li的中误差mi，权m02 任意正实数li的方差mi2愈大，权就愈小，精度越低li的方差mi2愈小，权就愈
16、大，精度越高令Wi=1，则有m02=mi2m02权等于1的观测量方差，单位权方差m0单位权中误差,2)加权平均值及其中误差对某量进行不等精度独立观测得观测值l1，l2，ln中误差m1，m2，mn权W1，W2，Wn观测值的加权平均值为应用误差传播定律,例6-4 1，2，3点已知高等级水准点其高程误差很小，可以忽略不计为求P点高程，用DS3水准仪独立观测了三段水准路线的高差,求P点高程的最可靠值与中误差,解 都是用DS3水准仪观测可认为每站高差观测中误差相等高差观测值h1，h2，h3的中误差取h1，h2，h3的权W1=1/n1，W2=1/n2，W3=1/n3计算出P点的高程值为HP1=H1+h1=
17、21.718+5.368=27.086mHP2=H2+h2=18.653+8.422=27.075mHP3=H3+h3=14.165+12.914=27.079m,因为三个已知水准点高程的误差很小，可忽略不计所以求出的三个高差观测值的中误差m1，m2，m3就等于用该高差观测值计算出的P点高程值HP1，HP2，HP3的中误差P点高程加权平均值为,P点高程加权平均值的中误差下面验证P点高程算术平均值的中误差满足P点高程的算术平均值,根据误差传播定律求得点高程算术平均值的中误差结论不等精度独立观测的加权平均值比算术平均值更合理(中误差更小),3)单位权中误差的计算 不等精度独立观测量l1，l2，l3
18、 ln权W1，W2，Wn构造虚拟观测量l1，l2，l3 ln虚拟观测量l1，l2，l3 ln为等精度独立观测量,不等精度独立观测量单位权中误差的计算,加权平均值方差为未知量估计的最小方差,不等精度独立观测量l1，l2，ln权W1，W2，Wn未知量最可靠值x观测量改正数Vi=xli，i=1，2，nn个误差方程，n+1个未知数，方程有无穷组解为求出x的最优解，应给改正数Vi一个约束准则,最小二乘准则WVV=W(xl)2min对未知量x求一阶导数，并令其等于0 结论当未知量估值等于观测量的加权平均值时可以使WVV min，等价于满足m0min条件。,测量称最小二乘准则下求观测方程式解最小二乘平差平差
19、英文单词adjustment调整调整改正数使之满足某个约束条件称满足最小二乘准则的平差严密平差不符合最小二乘准则的平差近似平差图根水准测量成果处理方法属于近似平差工程测量规范规定三、四等以上水准测量成果处理应用严密平差法多参数严密平差的计算比较复杂。,最小二乘法1801年高斯有机会施展他的最小二乘法那年元旦,发现了后来被证实的小行星谷神星当时它好像在向太阳靠近，天文学家虽然有40天的时间可以观察到它，但却无法算出它的轨道参数。高斯只观测了3次就提出了计算轨道参数的方法其精确度使天文学家在1801年末和1802年初能够毫无困难地再次确定谷神星的位置。高斯所用的计算方法就是他在1794年创立的最小二乘法。,
