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1、第二节 数列极限的定义,一、概念的引入,割圆术：,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,数列:按照某一个法则，对于每一个正整数 n，都对应一个确定的实数 xn，那么这些 xn按下标从小到大依次排成一个序列,称为数列，简记为,称为一般项,或第 n 项。,如:,二、数列的定义,注：(1)数列可看作是自变量为正整数 n 的函数：,对数列要讨论的重要问题是:当 n 无限增大时,对应的 是否会有一个确定的变化趋势？即 能否无限趋近于某个确定的数值?若能,这个值等于多少?,(2)从几何上来看，数列可看作是数轴上的一串
2、动点.,例如（1）：当 n 愈来愈大时,愈来愈小,所以当 n无限增大时,无限趋近于 0.,（3）:当 n 愈来愈大时，其趋势一直向右趋于无穷远.,（2）:当 n 愈来愈大时，动点在原点附近跳跃变化，但与原点的距离 愈来愈小,其无限趋于0.,（4）:当 n 愈来愈大时,没有一个固定的变化趋势.,当 n 无限增大时,xn的变化趋势有:,趋于一个定数,趋于无穷远,或,(*如果数列没极限,就说数列是发散的),注:(1)几何解释:即任意给定,就得到 在 中总可以找到一项,使得 N 项后的所有项都落在 内,而至多有限项落在此邻域外.,例 1 利用极限定义 证明：,（2）的任意性，的相应性.只依赖 而变,（
3、1）,（3）设 则,（2）,（4）,二、收敛数列的性质,定理1(唯一性)收敛数列的极限是唯一的.,证:设,且不妨设,对于 0,N+,当 时,有,N+,当 时,有,取,则当 时,有,即,矛盾，所以定理得证.,定义:数列 有界：,则称 有界,否则无界。,对于 都有,定理2(有界性)收敛的数列一定有界.,定理得证.,证：设,取,即有,所以，当 时有,则对一切 都有,注(1)有界是数列收敛的必要条件.,如,(2)数列若无界,则一定发散.,定理3（保号性）设 0，则，当 时，有,注 特别地对于介于0与a之间的任意实数b，均存在N,当nN时，有,注:若,定理3（保号性）设 0，则，当 时，有,三、无穷小数
4、列,定义 若，则称 是当 时的无穷小量。,1、无穷小与函数极限的关系,定理5 有限个无穷小的和还是无穷小.,2、无穷小的运算,定理6 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。,设有数列 和，如果,则,1),2),3)当 时,定理7 数列极限的运算法则,定理8(夹逼准则)如果，及 满足下列条件：,（1）,（2）,则数列 的极限存在,且,例2,解,由夹逼定理得,例 3 证明,例4 求,c,例5,四、子数列,注意:在子数列 中,一般项 的下标 表示原数列的第 项,而 表示该项为子数列的第 项,显然.,定义 在数列 中任意选取无限多项,按下标从小到大排成一列,记作则称数列 为数列 的一个子数列.,收敛数列与子数列的关系,于是,所以,定理 9 收敛于 的充要条件是 的任一子数列收敛于.,取,则当 时,证,注：特别地，,如：（1）证明 发散，其中,奇,偶,（2）证明 发散.,
