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1、第二节 对等与基数,第一章 集合及其基数,定义1：设X,Y是两个非空集合，若依照对应法则 f，对X中的每个x，均存在Y中唯一的y与之对应，则称这个对应法则 f 是从 X 到 Y 的一个映射，记作 f:XY。X称为f的定义域。,映射的定义,当映射f使y与x对应时，y称为x在映射f下的像。像的全体组成值域。,对于某一固定的y，称适应关系y=f(x)的x的全体是元素y在映射f下的原像。,注：模糊集：参见：模糊集合、语言变量及模糊逻辑，L.A.Zadeh,例1,2、实数的加法运算+:RRR,1、定积分运算 为从a,b上的可积函数集到实数集的映射。,3、集合A的特征函数（集合A与特征函数互相决定）称 为
2、集A的特征函数，,定义2：设X,Y是两个非空集合，集合X到集合Y上的一一映射f满足：(1)单射：,(2)满射：,既是单射又是满射的映射称为双射或一一映射。,2 集合运算关于映射的性质（像集）,集合运算关于映射的性质（原像集）,注：6），7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f为单射，7）等号成立当且仅当f为满射,证明的过程略,3 对等与势,1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的一一映射（既单又满），则称A与B对等,注：称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作势是对有限集元素个数概念的推广,记作约定,例2,有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能。,例2,Galileo在17世纪最先考虑自然数与自然数平方的多少,1870Cantor开始系统考虑.,基数的大小比较,4 Bernstein定理,例：由 可知，试问如何构造两者间的既单又满的映射。,Bernstein定理的证明,Bernstein定理的证明,证明:,Bernstein定理的证明（续）,Bernstein定理的证明（续）,Bernstein定理的证明,此处都是关于映射g,如果不是同一映射,则不一定成立.,
