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1、第24讲 实践应用能力与创新意识 江苏省高考数学科考试说明指出：“注重数学的应用意识和创新意识的考查.要求能够运用所学的数学知识、思想和方法构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.要求能够综合、灵活运用所学的数学知识和思想方法,创造性地解决问题.”,对实践能力和创新意识的考查可涉及高中阶段所学任何知识点，题型多为应用题，可以是填空题，也可以是解答题.其解题程序一般为：读懂题意构建数学模型解决数学模型问题解决实际问题.读题:理解题意,将“应用问题”化为“数学问题”.建模：构建数学模型.解模：用恰当方法，解决构建的数学问题.回归：将数学问题的结果依照实际意义，回归到实际问题上
2、去.,【例1】（2009木渎高中调研）假设A型进口车关税税 率在2003年是100%，在2008年是25%，在2003年A型进 口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2003年每辆 价格为46万元,若A型车的价格只受关税降低的影响,为 了保证2008年B型车的价格不高于A型车价格的90%，B 型车价格要逐年等额降低,问每年至少下降多少万元？（2）某人在2003年将33万元存入银行，假设银行扣利 息税后的年利率为1.8%（5年内不变），且每年按复利 计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么5年到 期时这笔钱连本带息是否一定能买按（1）中所述降价
3、 后的B型车一辆？（参考数据：1.01851.093）.,分析 依题意，可化为等差数列与等比数列问题 解决.解(1)2008年A型车价格为32+3225%=40(万元).设B型车每年下降d万元，2003，2004，2008 年B型车价格分别为a1，a2，a3，a6（a1，a2，a6为公差是-d的等差数列），a64090%，即46-5d36,d2,故每年至少下降2万元.（2）2008年到期时共有钱 33（1+1.8%）5331.093=36.06936(万元).故5年到期后这笔钱够买一辆降价后的B型车.,探究拓展 依题意，问题转化为数列问题，依等 差数列、等比数列相关知识迅速获解.注意解题过 程
4、的规范化叙述与实际意义的认定.变式训练1 某单位用3.2万元购买了一台实验仪 器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为(nN*)元，若使 用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用 天.,解析 连续n天，每天保养费构成等差数列，n天 保养费之和为 答案 800,【例2】（2009海门中学模拟）如 图所示，某动物园要为刚入园的小 老虎建造一间两面靠墙的三角形露 天活动室，已知已有两面墙的夹角为60(即 C=60)，现有可供建造第三面围墙的材料6米（两面墙的长均大于6米），为了使得小老虎能健 康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能 大，记ABC=，问当 为多少时，所建造的三
5、角形露天活动室的面积最大？,解 在ABC中，由正弦定理：,答 当=60时，所建造的三角形露天活动室 的面积最大.探究拓展 以角度为自变量（或涉及角度）的问 题，多建立三角函数模型，利用三角变换，结合 三角函数的图象、性质、有界性结论等解决问题.,变式训练2（2009通州调研）如图所示，一条 直角走廊宽为2米.现有一转动灵活的平板车，其 平板面为矩形ABEF，它的宽为1米.直线EF分别交 直线AC、BC于M、N，过墙角D作DPAC于P，DQBC于Q；,（1）若平板车卡在直角走廊内，且CAB=，试 求平板面的长l（用 表示）；（2）若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不 能超过多少米？,（1）若平
6、板车卡在直角走廊内，且CAB=，试 求平板面的长l（用 表示）；（2）若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不 能超过多少米？解（1）,（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意 角 平板车的长度不能超过l，即平板车 的长度lmin;记 此后研究函数f(t)的最小值,方法很多；如换元（记4t-2=m，则)或直接求导,以确定函 数f(t)在1，上的单调性；当t=时,l取得 最小值 4-2.所以平板车的长度不能超过4-2米.,【例3】（2009兴化调研）某海滨城市坐落在一个三角形 海域的顶点O处（如图所示）,一条海岸线AO在城市O的正东方向，另一条海岸 线OB在城市O北偏东 方向，位于城市O 北偏
7、东 方向15 km的P处有一个美丽 的小岛.旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市O出发沿海岸线OA到达C处，再从海面 直线航行，途经小岛P到达海岸线OB的D处，然后,返回城市O.为了节省开发成本，要求这条旅游观 光线路所围成的三角形区域面积最小，问C处应选 址何处？并求这个三角形区域的最小面积.解 以O为原点,直线OA为x轴建立平面直角坐标 系.据题意，直线OB的倾斜角为 从而直线OB的方程为y=3x.由已知POC=，|PO|=15，得点P的坐 标为（9，12），设点C的坐标为（t,0）,则直线PC的方程为 联立y=3x,得,答 当C地处于城市O正东方向10 km处时，能使 三角形区域面
8、积最小，其最小面积为120 km2.探究拓展 函数、不等式与方程是设计应用类问 题的热点题材，结合函数性质、图象及不等式性 质是解决问题的关键.解题之后认真反思与体会是 提高能力的必要环节.,变式训练3（2009南京调研）某工厂有216名 工人接受了生产1 000台GH型高科技产品的总任 务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装 置配套组成.每个工人每小时能加工6个G型装置或 3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每 组分别加工一种装置.设加工G型装置的工人有x 人，他们加工完G型装置所需时间为g（x），其余 工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：小 时，可不为整数）.（1
9、）写出g（x），h（x）的解析式；（2）比较g（x）与h（x）的大小，并写出这216名 工人完成总任务的时间f（x）的解析式；,(3)应怎样分组,才能使完成总任务所用时间最少？解(1)由题知,需加工G型装置4 000个,加工H型 装置3 000个,所用工人分别为x人,（216-x）人.00.当00,g(x)-h(x)0,g(x)h(x);当87x216时，432-5x0,g(x)-h(x)0,g(x)h(x).（3）完成总任务所用时间最少即求f(x)的最小值.当0 x86时，f(x)递减，,f（x）min=f（86），此时216-x=130.当87x216时，f(x）递增，加工G型装置、H型装
10、置的人数分别为86、130或 87、129.,【例4】（2009盐城三检）某高中地处县城，学校 规定家到学校的路程在10里以内的学生可以走 读，因交通便利，所以走读生人数很多.该校学生 会先后5次对走读生的午休情况作了统计，得到如 下资料：若把家到学校的距离分为五个区间:0，2），2，4），4，6），6，8），8，10，则 调查数据表有午休的走读生分布在各个区间内的 频率相对稳定，得到如图所示的频率分布直方 图；,走读生是否午休与下午开始上课的时间有密切 的关系.下表是根据5次调查数据得到的下午开始 上课时间与平均每天午休的走读生人数的统计表.,（1）若随机地调查一位午休的走读生，其家到学 校
11、的路程(单位：里)在2，6）的概率是多少？（2）如果把下午开始上课时间130作为横坐标 0，然后上课时间每推迟10分钟，横坐标x增加1，并以平均每天午休人数作为纵坐标y，试根据表中 的5列数据求平均每天午休人数y与上课时间x之间 的线性回归方程,(3)预测当下午上课时间推迟到220时,家距学校 的路程在6里路以上的走读生中约有多少人午休？解（1）P=（0.15+0.200）2=0.7.（2）根据题意，可得如下表格：,（3）下午上课时间推迟到220时，x=5，=890，890（0.050+0.025）2=133.5，此时，家距学校的路程在6里路以上的走读生中约 有133人（134人）.,探究拓展
12、 概率与统计是数学与现实生活联系较 密切的素材之一，近几年新课标高考强化对数据 处理能力的要求，更加突显了这部分知识的重要 性，增大了被考查的可能性，备考者要有一定的 思想准备.,变式训练4 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数 据分组如下表：,（1）列出频率分布表，并在坐标系中画出频率分 布直方图；（2）估计纤度落在1.38，1.50）中的概率及 纤度小于1.40的概率各是多少？（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中 点值（例如区间1.30，1.34）的中点值是 1.32）作为代表.据此，估计纤度的期望.,解（1）频率分布表如下：,频率分布直方
13、图如下:,(2)纤度落在1.38,1.50)中的概率约为0.30+0.29+0.10=0.69,纤度小于1.40的概率约为0.04+0.25+0.30=0.44.（3）总体数据的期望约为 1.320.04+1.360.25+1.400.30+1.44 0.29+1.480.10+1.520.02=1.408 8.,规律方法总结1.解实际应用题的思路和方法：2.实践能力问题常见的考查类型：(1)解概率统计有关的应用题；(2)图表型应用题；,实际问题,数学问题,实际问题的结论,数学问题的答案,建模,审题、抽象、转化,问题解决,解模,推理、运算,检验,（3）构造“函数、方程、不等式模型”求解的应 用
14、题；（4）构造“数列模型”求解的应用题；（5）构造“三角函数、平面向量模型”求解的应 用题；（6）构造“线性规划模型”求解的应用题.3.创新类问题是以“传统知识”为基础设计，是在“传统方法”之上的创新，是通性、通法的升华 与灵活应用，备考过程中不必求奇、求异，应立 足根本实现创新，不可本末倒置.,一、填空题1.平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点 称为格点，如果函数f（x）的图象恰好通过k个格 点，则称函数f(x)为k阶格点函数.下列函数：f(x)=sin x;f(x)=(x-1)2+3;f(x)=log0.6x.其中是一阶格点函数的有.（填上所有满足题意的序号）解析 函数f(x)=si
15、n x只过格点（0，0）；函数 f（x）=（x-1）2+3只过格点（1，3）；函数 f(x)=log0.6x只过格点（1，0）.,2.一个小水库的承包人为了估计小水库中养殖的鱼 的数量，先从小水库的不同位置捕捞出了100条 鱼，分别作好记号后再放回水库，几天后再从水 库的几处不同位置捕捞出108条鱼，其中带记号的 鱼有3条，请估计水库中鱼的总条数为 条.解析 将水库中的鱼分为带记号的和不带记号的 两类，从中抽取108条，可近似地看作分层抽样.设水库中的鱼有n条，故水库中的鱼的总条数大概是3 600条.,3 600,3.对任意实数x、y，规定运算xy=ax+by+cxy,其中 a、b、c是常数，
16、等式右边的运算是通常的加法 和乘法运算，已知12=3，23=4，并且有一个 非零常数m，使得对任意实数x,都有xm=x,则m=.解析 依题意，xm=ax+bm+cxm=x对任意实数x恒 成立，令x=0，则mb=0，由于m是非零常数，得 b=0，故xy=ax+cxy.由已知得 故5x-mx=x对任意实数x恒成立，则 m=4.,4,4.将自然数1,2,3,4,排成数阵(如 图),在2处转第一个弯,在3处转第 二个弯,在第5处转第三个弯,则转第100个弯处的数为.解析 a1-a0=1 a2-a1=1 a3-a2=2 a4-a3=2 a5-a4=3 a6-a5=3 a99-a98=50 a100-a9
17、9=50 相加得a100-a0=2(1+2+3+50)=2 550.a100=2 551.,2 551,5.如图是2008年北京奥运会上男子跳台跳水比赛 中，12位评委为某个运动员打出的分数的茎叶统 计图，去掉一个最高分和一个最低分之后，所剩 数据的标准差为.解析 依方差公式求出.,4,6.水管或煤气管的外部经常需要包扎，以便对管道起保护作用，包扎时用很 长的带子缠绕在管道外部.若需要使 带子全部包住管道且没有重叠的部分(不考虑管子两端的情况,如图所示)，这就要精确计算带子的“缠绕角度”(指缠绕 中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的 ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分），若 带子宽度
18、为1，水管直径为2，则“缠绕角度”的余弦值为.,解析 由展开图知,AE=1,AC=2,RtAEC中,答案,二、解答题7.以一年为一个周期调查某商品的出厂价格及商品 在商店的销售价格时发现，该商品出厂价格是在 每件6元的基础上按月份随正弦曲线波动的，已知 3月份的出厂价格最高，为8元，7月份的出厂价格 最低，为4元；而该商品在商店的销售价格是在每 件8元的基础上按月份也随正弦曲线波动，并在5 月份的销售价格最高，为10元，9月份的销售价格 最低，为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且在当月售完，请估算哪个月赢利最大？并 说明理由.,解 依题意，出厂价格函数为,8.深夜，一辆出租车被牵涉进一
19、起交通事故，该市 有两家出租车公司红色出租车公司和蓝色出 租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公 司分别占整个城市出租车的85%和15%.根据现场一 个目击证人说，事故现象的出租车是红色，并对 该证人的视觉辨别能力作了测试，测得他辨认的 正确率为80%，对此警察就认定红色出租车具有较 大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平 吗？试说明理由.,解 设该城市有出租车1 000辆，那么依题意可得 如下信息：从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且 它确实是红色的概率为 而它是蓝色的概 率为 故以证人的证词作为推断的依据对 红色出租车显然是不公平的.,9.某仓库为了保持库内的湿度和温度，四
20、周墙上均 有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米.上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点.EMN是由电脑控制其 形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平 行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）.,(1),(2),（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角 通风窗EMN的通风面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风 窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函 数S=f（x）；（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风 窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积.解(1)
21、由题意,当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此时EMN中MN边上的高 为0.5米.又因为EM=EN=DC=1米，可得MN=米.,即三角通风窗EMN的通风面积为 平方米.（2）如图（1）所示，当MN在矩形区域滑动，EMN的面积 如图（2）所示，当MN在半圆形区域滑动，,10.已知数列an，bn,cn的通项公式满足 bn=an+1-an,cn=bn+1-bn(nN+)，若数列bn是一 个非零常数列，则称数列an是一阶等差数列；若 数列cn是一个非零常数列，则称数列an是二阶 等差数列.（1）试写出满足条件a1=1,b1=1,c1=1的二阶等差数 列an的前五项；（2）求满足条件（
22、1）的二阶等差数列an的通项 公式an；（3）若数列an首项a1=2，且满足cn-bn+1+3an=-2n+1(nN+),求数列an的通项公式.,解（1）a1=1,a2=2,a3=4,a4=7,a5=11.（2）依题意有bn+1-bn=cn=1,n=1,2,3,所以bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(bn-2-bn-3)+(b2-b1)+b1=1+1+1+1+1=n.又an+1-an=bn=n,n=1,2,3,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)+2+1+1（3）由已知cn-bn+1+3an=
23、-2n+1,可得bn+1-bn-bn+1+3an=-2n+1,即bn-3an=2n+1.an+1=4an+2n+1.,方法一 整理，得an+1+2n+1=4(an+2n).因而数列an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比 数列.an+2n=44n-1=4n.即an=4n-2n.方法二 在等式an+1=4an+2n+1两边同时除以2n+1，则kn+1=2kn+1.则kn+1+1=2(kn+1).故数列kn+1是首项为2，公比为2的等比数列.所以kn+1=22n-1=2n.即kn=2n-1.an=2nkn=2n（2n-1）=4n-2n.,方法三 a1=2，a2=12=22（22-1），a3=56=23（23-1），a4=240=24（24-1），猜想：an=2n（2n-1）=4n-2n.下面用数学归纳法证明如下：当n=1时，a1=2=4-2,猜想成立；假设n=k（kN*）时，猜想成立，即ak=4k-2k，那么当n=k+1时，ak+1=4ak+2k+1=4(4k-2k)+2k+1=4k+1-2k+1,结论也成立.由可知，an=4n-2n.,返回,
