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1、42布洛赫（Bloch）定理,求晶体中的电子态，要解定态薛定谔方程 2(k,r)E V(r)(k,r)0 其中势能函数V(r)具有晶格周期性，即V(r)V（rRn）V（r+n1a1+n2a2+n3a3）,一布洛赫定理,晶体中的电子波函数是按照晶格周期性进行的调幅平面波.即（以一维为例）（k,x）u（k，x）eikx其中 u（k，x）u（k,x+na）晶体中的电子波又称为Bloch波。,讨论：,1电子出现的几率具有正晶格的周期性。（k,x）2u（k，x）2（k,xna）2=u（k,x+na）2 u（k，x）=u（k,x+na）（k,x）2=（k,xna）2,2.布洛赫定理的另一种表示。证明:（k
2、,x）u（k，x）eikx u（k，x）u（k,x+na）得：u（k，x）（k,x）e-ikx(A)u（k,x+na）=（k,x+na）e-ik(x+na)=e-ikx e-ikna（k,x+na）(B)比较（A）（B）二式，左右分别相等（k,x+na）（k,x）eikna 以上证明各步均可逆，故Bloch定理的两种表示等价。,3函数（k,x）本身并不具有正晶格的周期性。（k,xna）u（k，x+na）eik(x+na)=u（k，x+na）eikx eikna=u（k，x）eikx eikna=（k,x）eikna而一般情况下 k不是倒格矢 eikna1（k,xna）（k,x）,二Bloch
3、定理的证明,1由于势能函数V(x)具有晶格周期性，适当选取势能零点，它可以作如下的付里叶级数展开：,说明：,(1),2.将待求的波函数（r）向动量本征态平面波eikx展开,(2),求和是对所有满足波恩卡曼边界条件的波矢k进行的。将（1）式和（2）式代入薛定谔方程得:,(3),将此式两边左乘eik.x,然后对整个晶体积分。并利用平面波的正交归一性,得到（4）式,利用函数的性质，得（4）式,该方程实际上是动量表象中的薛定谔方程，称作中心方程。,K态与其相差不是一个倒格矢的态之间无耦合,方程（4）说明，与K态系数C(K)的值有关的态是与K态相差任意倒格矢Gn 的态的系数C(KGn).与K相差不是一个
4、倒格矢的态不进入方程（4），该结论也应适用于波函数(k,x)。,因此波函数应当可写成,与Bloch定理比较（k,x）u（k，x）eikx需证明,=u(K,x+na),GhRn2m，一维情况Rn=na,Ghna=2mexp(-iGhna)=1,于是布洛赫定理得证。,三 布洛赫定理的一些重要推论,（1）K态和KGh态是相同的状态，这就是说：（A）（KGh,r）（K，r）（B）E（KGh）E(K)下面分别证明之。（k,x）求和遍取所有允许的倒格矢,令Gn Gn=Gn,则（求和也是遍取所有允许的倒格矢）,即相差任意倒格矢的状态等价。,由薛定谔方程(k,r)=E(k)(k,r),E（k）=E(k+Gn)
5、可见，在波矢空间，布洛赫电子态具有倒格子周期性，为了使波矢K和状态一一对应，通常限制k在第一B.Z.内变化。第一B.Z.内的波矢又叫简约波矢。,与,等价,（2）E（k）E（k）即能带具有k=0的中心反演对称性。（3）E（k）具有与正晶格相同的对称性。,四能态密度,由布洛赫波所应满足的周期性边界条件：波矢k在空间分布是均匀，允许的波矢为 每个k点在k空间平均占有的体积为k空间内，k点的密度为Vc/（2）3。,能态密度：对给定体积的晶体，单位能量间隔的电子状态数。,在k空间，对某一能带n,每一个k点对应此能带一个能量En,反过来，对于一个给定的能量En,可以对应波矢空间一系列的k点，这些能量相等的
6、k点形成一个曲面，称之为等能面。考虑EEdE二个等能面之间的电子状态数。在k空间等能面E和EdE之间，第n个能带所对应的波矢k数目为,将k空间的体元dk表示成dkdSEdk由于 dEkEn(k)dk故有,则EE+dE之间，第n个能带所对应的状态数应为（考虑自旋应2）：,其中D(En)即是第n个能带对EEdE能量区间所贡献的状态密度。如果能带之间没有交叠，则D（En）就是总的状态密度；如果有交叠，应对所有交叠带求和，即一般应写成:,因此，只要由实验测出关系En(k)k（或称能带结构）就可求得状态密度D（En）。反过来，若由实验测得D（En），也可推测出能带结构En(k)。,例：求自由电子的态密度函数D（E）,在k空间，自由电子的等能面为球面,对应于一定的电子能量E,半径为,K空间中，在半径为k的球体积内的电子态数目，应等于球的体积乘以K空间单位体积内的电子态数Vc/43，即,于是自由电子的态密度函数D（E）为,E,D,
